Πλήθος πενταψήφιων

Συντονιστές: Demetres, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7805
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Πλήθος πενταψήφιων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 25, 2018 10:16 pm

Να βρεθεί το πλήθος όλων των πενταψήφιων αριθμών \overline{x_1x_2x_3x_4x_5} ώστε x_i > x_{i+1} για όλα τα i \in \{1,2,3,4\} εκτός από το πολύ ένα.

Π.χ. οι 42310 και 57421 είναι τέτοιοι αριθμοί αλλά ο 57732 όχι.



Λέξεις Κλειδιά:
Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Πλήθος πενταψήφιων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Παρ Μάιος 25, 2018 11:18 pm

Αν η συνθήκη τηρείται για κάθε i τότε υπάρχουν {10\choose 5} πενταψήφιοι

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=1 τότε υπάρχουν {10\choose 4}{10\choose 1}

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=2 τότε υπάρχουν {10\choose 3}{10\choose 2}

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=2 τότε υπάρχουν {10\choose 2}{10\choose 3}

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=4 τότε υπάρχουν {9\choose 1}{10\choose 4}(δε μπορούμε να επιλέξουμε το 0 για τελευταίο ψηφίο)

(Αν η συνθήκη ισχύει για κάθε i τότε η απάντηση είναι όλοι οι 5ψήφιοι με ταξινομημένα κατά αύξουσα σειρά τα ψηφία τους.
Αν η συνθήκη δεν ισχύει για κάποιο i (π.χ. για i=1) τότε η απάντηση είναι η παραπάνω αφού είναι όλοι οι 4ψήφιοι με ταξινομημένα κατά αύξουσα σειρά τα ψηφία τους \times όλους τους τέτοιους μονοψήφιους. )

Άρα συνολικά

2{10\choose 2}{10\choose 3}+{10\choose 1}{10\choose 4}+{9\choose 1}{10\choose 4}+{10\choose 5}=110{10\choose 3}+19{10\choose 4}+{10\choose 5}=110*120+29*210+252=17442
τελευταία επεξεργασία από Τροβαδούρος σε Παρ Μάιος 25, 2018 11:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7805
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πλήθος πενταψήφιων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 25, 2018 11:21 pm

Τροβαδούρος έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:18 pm
Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=1 τότε υπάρχουν {10\choose 4} +{10\choose 1}
Γιατί πρόσθεση;


Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Πλήθος πενταψήφιων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Παρ Μάιος 25, 2018 11:22 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:21 pm
Τροβαδούρος έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:18 pm
Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=1 τότε υπάρχουν {10\choose 4} +{10\choose 1}
Γιατί πρόσθεση;
Έχετε δίκαιο έπρεπε να είναι γινόμενο. Θα το διορθώσω.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7805
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πλήθος πενταψήφιων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 25, 2018 11:26 pm

Τροβαδούρος έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:22 pm
Demetres έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:21 pm
Τροβαδούρος έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:18 pm
Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=1 τότε υπάρχουν {10\choose 4} +{10\choose 1}
Γιατί πρόσθεση;
Έχετε δίκαιο έπρεπε να είναι γινόμενο. Θα το διορθώσω.
Υπάρχουν και κάποια άλλα θεματάκια οπότε σκέψου το ακόμη λίγο πριν το διορθώσεις.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7805
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πλήθος πενταψήφιων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 26, 2018 3:08 pm

Τροβαδούρος έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 11:18 pm
Αν η συνθήκη τηρείται για κάθε i τότε υπάρχουν {10\choose 5} πενταψήφιοι

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=1 τότε υπάρχουν {10\choose 4}{10\choose 1}

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=2 τότε υπάρχουν {10\choose 3}{10\choose 2}

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=2 τότε υπάρχουν {10\choose 2}{10\choose 3}

Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=4 τότε υπάρχουν {9\choose 1}{10\choose 4}(δε μπορούμε να επιλέξουμε το 0 για τελευταίο ψηφίο)

(Αν η συνθήκη ισχύει για κάθε i τότε η απάντηση είναι όλοι οι 5ψήφιοι με ταξινομημένα κατά αύξουσα σειρά τα ψηφία τους.
Αν η συνθήκη δεν ισχύει για κάποιο i (π.χ. για i=1) τότε η απάντηση είναι η παραπάνω αφού είναι όλοι οι 4ψήφιοι με ταξινομημένα κατά αύξουσα σειρά τα ψηφία τους \times όλους τους τέτοιους μονοψήφιους. )

Άρα συνολικά

2{10\choose 2}{10\choose 3}+{10\choose 1}{10\choose 4}+{9\choose 1}{10\choose 4}+{10\choose 5}=110{10\choose 3}+19{10\choose 4}+{10\choose 5}=110*120+29*210+252=17442
Κάποια επιπλέον θέματα:

(α) Οι περιπτώσεις i=1 και i=4 είναι ανάποδα επειδή πρέπει x_1 \neq 0.
(β) To {10\choose 3}{10\choose 2} περιλαμβάνει όχι μόνο την περίπτωση όπου δεν ισχύει για i=2 αλλά και την περίπτωση που ισχύει για όλα τα i.
(γ) Υπάρχει ένα λαθάκι και στο άθροισμα. Είναι 90{10\choose 3} και όχι 110{10 \choose 3}.

Τα πιο πάνω διορθώνονται εύκολα για να δώσουν την σωστή απάντηση. Καλύτερα όμως κάνε καινούργια ανάρτηση και στην αρχική γράψε κάτι του στιλ «Δείτε πιο κάτω για την σωστή απάντηση» διότι αλλιώς χάνεται η ροή των υπόλοιπων μηνυμάτων.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 690
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πλήθος πενταψήφιων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Ιουν 01, 2018 3:00 pm

Για να μη μείνει... την ξαναβάζω από την αρχή όπως είπε ο κύριος Δημήτρης.

Ξεχωρίζουμε τις εξής περιπτώσεις:

1) Αν η συνθήκη τηρείται για κάθε i τότε υπάρχουν {10\choose 5} πενταψήφιοι. Ο λόγος είναι ότι επιλέγουμε 5 ψηφία από τα10 και τα βάζουμε με φθίνουσα σειρά.

2) Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=1 τότε υπάρχουν {9\choose 1}{10\choose 4} πενταψήφιοι. Δηλαδή επιλέγουμε έναν μονοψήφιο (που δεν μπορεί να είναι το 0) και μετά έναν τετραψήφιο αριθμό με τον τρόπο της πρώτης περίπτωσης.

3) Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=2 τότε υπάρχουν {10\choose 2}{10\choose 3} πενταψήφιοι. Δηλαδή επιλέγουμε έναν διψήφιο και μετά έναν τριψήφιο αριθμό με τον τρόπο της πρώτης περίπτωσης.

4) Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=3 τότε υπάρχουν {10\choose 3}{10\choose 2} πενταψήφιοι. Δηλαδή επιλέγουμε έναν τριψήφιο και μετά έναν διψήφιο αριθμό με τον τρόπο της πρώτης περίπτωσης.

5) Αν η συνθήκη δεν ισχύει για i=4 τότε υπάρχουν {10\choose 4}{10\choose 1} πενταψήφιοι. Δηλαδή επιλέγουμε έναν τετραψήφιο και μετά έναν μονοψήφιο αριθμό με τον τρόπο της πρώτης περίπτωσης.

Βέβαια, στις περιπτώσεις 2) έως 5) στο πλήθος των πενταψήφιων που προκύπτουν συμπεριλαμβάνονται και αυτοί της πρώτης περίπτωσης που θα πρέπει να αφαιρεθούν. Άρα συνολικά:

\displaystyle{{10\choose 5} + {9\choose 1}{10\choose 4}+2{10\choose 2}{10\choose 3}+{10\choose 4}{10\choose 1}- 4{10\choose 5} = 252+1890+2 \cdot 5400 +2100-4 \cdot 252=14034}

Υ.Γ

Το ίδιο αποτέλεσμα βγαίνει και από το εξής μικρό προγραμματάκι σε C (όπου βέβαια δεν φαίνονται σωστά οι αλλαγές γραμμής):

Κώδικας: Επιλογή όλων

#include <stdio.h>

int main()
{
int i, j, k, l, m, c, count=0;

    for (i=1; i<=9; i++)
        for (j=0; j<=9; j++)
            for (k=0; k<=9; k++)
                for (l=0; l<=9; l++)
                    for (m=0; m<=9; m++)
    {
        c=0;
        if (i<=j) c++;
        if (j<=k) c++;
        if (k<=l) c++;
        if (l<=m) c++;
        if (c<=1) count++;
    }

    printf("%d\n", count);
    return 0;
}


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης