ΑΝΕΒΑΙΝΟΝΤΑΣ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΑ

#1

Ανεβαίνουμε μία σκάλα με 10 σκαλοπάτια προχωρώντας σε κάθε βήμα είτε κατά ένα (μονό βήμα) είτε κατά δύο (διπλό βήμα) σκαλοπάτια. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να την ανεβούμε;

#2

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 25, 2025 10:47 pm
Ανεβαίνουμε μία σκάλα με 10 σκαλοπάτια προχωρώντας σε κάθε βήμα είτε κατά ένα (μονό βήμα) είτε κατά δύο (διπλό βήμα) σκαλοπάτια. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να την ανεβούμε;

.
Γενικότερα: Έστω F_n

το πλήθος των τρόπων να ανέβεις

σκαλοπάτια σε βήματα είτε

είτε

σκαλοπάτια σε κάθε βηματισμό. Τότε F_1=1

και

διότι υπάρχουν οι δύο τρόποι, οι 1+1

και

.

Τώρα, για n>2

για να ανέβεις

σκαλοπάτια τότε το προηγούμενο βήμα πριν το τελευταίο είναι είτε α) ένα βήμα από το n-1

σκαλοπάτι είτε β) ένα διπλό βήμα από το n-2

σκαλοπάτι. Συνεπώς το πλήθος των τρόπων να φτάσεις στο

σκαλοπάτι είναι α) όσοι οι τρόποι έκανες να φτάσεις στο n-1

και μετά να κάνεις ένα (μονό) βήμα συν β) όσοι οι τρόποι έκανες να φτάσεις στο n-2

και μετά να κάνεις ένα διπλό βήμα.

Με Μαθηματικούς όρους $\boxed {F_n=F_{n-1}+F_{n-2}}$ . Η γνώριμή μας ακολουθία Fibonacci. Εδώ, αναδρομικά,

$F_1=1, \,F_2=2,\, F_3=3,\, F_4=5,\, F_5=8,\, F_6=13,\, F_7=21,\, F_8=34,\, F_9=55,\,{\color {red} F_{10}= 89}$

ΑΝΕΒΑΙΝΟΝΤΑΣ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΑ

ΑΝΕΒΑΙΝΟΝΤΑΣ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΑ

Re: ΑΝΕΒΑΙΝΟΝΤΑΣ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΑ

Μέλη σε σύνδεση