Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Datis-Kalali · #1

Έστω ότι Ν είναι το σύνολο θετικών ακεραιων. Να βρείτε όλες τις συαρτήσεις $f:N \rightarrow N$ που είναι ένα προς ένα και ικανοποίουν την σχέση
$f(f(n)) \le \frac{n+f(n)}{2}$
για κάθε $n \in N$

dement · #2

Προφανώς η ταυτοτική συνάρτηση είναι λύση. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική.

Έστω

μη ταυτοτική λύση και έστω

ο ελάχιστος αριθμός για τον οποίο $f(n) \neq n$ . Ισχύει f(n) > n

λόγω του 1-1. Η τροχιά $\mathcal{O}_n$ του

(οι αριθμοί n, f(n), f(f(n)),...

) είναι υποσύνολο του $\{ n, n+1,..., f(n) \}$ . Πράγματι, αν

ο ελάχιστος αριθμός για τον οποίο $f^{[k]}(n) > f(n)$ (προφανώς k > 1

), τότε $\displaystyle f(n) < f^{[k]}(n) \leqslant \frac{f^{[k-1]}(n) + f^{[k-2]}(n)}{2} \leqslant f(n)$ και έχουμε άτοπο.

Ισχύει $f \left( \mathcal{O}_n \right) \subseteq \mathcal{O}_n$ και, αφού η

είναι 1-1 και το $\mathcal{O}_n$ είναι πεπερασμένο, $f(\mathcal{O}_n) = \mathcal{O}_n$ και υπάρχει $u \in \mathcal{O}_n$ με f(u) = n

. Έτσι, ισχύει $\displaystyle f(n) \leqslant \frac{u + n}{2} < f(n)$ (άτοπο).

Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Re: Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Μέλη σε σύνδεση