Καλή ανισότητα

Datis-Kalali · #1

Αν

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, έτσι ώστε a^2+b^2=a^9+b^9

, να δείξετε οτι,
$a^ {9002}+b^ {9002} \ge a^ {2009}+b^ {2009}$

dement · #2

Η συνάρτηση a^x+b^x

είναι κυρτή και, αφού έχει προφανώς ελάχιστο στο (2,9)

, είναι αύξουσα στο $(9, + \infty )$ .

Επίσης, για r>0

, η $\displaystyle \frac{a^{x+r}+b^{x+r}}{a^x+b^x}$ είναι αύξουσα (το σχετικό βάρος του $\max \{ a^r, b^r \}$ αυξάνεται).

Έτσι, $\displaystyle 1 = \frac{a^9+b^9}{a^2+b^2} \leqslant \frac{a^{2016}+b^{2016}}{a^{2009}+b^{2009}} \leqslant \frac{a^{9002}+b^{9002}}{a^{2009}+b^{2009}}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

dement έγραψε:Η συνάρτηση είναι κυρτή και, αφού έχει προφανώς ελάχιστο στο , είναι αύξουσα στο $(9, + \infty )$ .

Επίσης, για , η $\displaystyle \frac{a^{x+r}+b^{x+r}}{a^x+b^x}$ είναι αύξουσα (το σχετικό βάρος του $\max \{ a^r, b^r \}$ αυξάνεται).

Έτσι, $\displaystyle 1 = \frac{a^9+b^9}{a^2+b^2} \leqslant \frac{a^{2016}+b^{2016}}{a^{2009}+b^{2009}} \leqslant \frac{a^{9002}+b^{9002}}{a^{2009}+b^{2009}}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Καλημέρα Δημήτρη.
Αφου η $f(x)=a^{x}+b^{x}$ είναι αύξουσα για $x\geq 9$
δεν είναι άμεσο το $f(2009)\leq f(9002)$ ;
Χάνω κάτι;

dement · #4

Φυσικά είσαι σωστός!

Καλή ανισότητα

Καλή ανισότητα

Re: Καλή ανισότητα

Re: Καλή ανισότητα

Re: Καλή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση