Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Datis-Kalali · #1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ που ικανοποιούν την εξίσωση
f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y)

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^{\ge 0}$

min## · #2

Αν βάλω όπου $y\rightarrow 1/x$ ,αγνοώντας την περίπτωση x=0

προκύπτει: $f(x^3+xf(1))=f(1)+x^2f(x+1/x)\forall x\epsilon \mathbb{R}+$
.Παρατηρώ ότι μπορώ εξαναγκάσω x^3+xf(1)=1

(υπάρχει θετική πραγματική λύση).Επομένως,αν αυτή η λύση είναι η

,θα είναι: u^2f(u+1/u)=0

,δηλαδή υπάρχει $w\neq0 ,f(w)=0$ .Αν θέσω για λίγο $y\rightarrow y/x$ στην αρχική,θα έχω $f(x^3+xf(y))=f(y)+x^2f(x+y/x)\forall y\epsilon \mathbb{R}^{\geq 0},x\epsilon \mathbb{R}+$ .Βλέπω ότι για κάθε συγκεκριμένο

η εξίσωση

έχει λύση για το x,έστω

.Αν βάλω στην πάνω $x\rightarrow t$ θα έχω 0=f(w)=f(y)+t^2f(t+y/t)

άρα

για κάθε συγκεκριμένο

που ανήκει στους πραγματικούς $\geq 0$ και άρα αυτή είναι και η μοναδική λύση(επειδή επαληθεύει κι'όλας)...(Ελπίζω να μην έχω κάνει πατάτα...)

Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Re: Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Μέλη σε σύνδεση