Παραλλαγή!

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ τέτοιες, ώστε $\displaystyle f\left(y\left(f\left(x\right)\right)^3+x\right)=x^3f(y)+f(x)$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}$ .

#2

Έστω

η δοθείσα σχέση.

H P(1,0)

δίνει

, οπότε $\boxed{f(0)=0}$ .

Αν υπάρχει $a\ne 0$ τέτοιο ώστε f(a)=0

, τότε η

δίνει

, οπότε

για κάθε $y\in \mathbb{R}$ . Η μηδενική συνάρτηση αποτελεί λύση της δοθείσας εξίσωσης.

Έστω $f(a)\ne 0$ για κάθε $a\ne 0$ . Αν $f(1)\ne 1$ , τότε η $P(1,\frac{1}{1-f(1)^3})$ δίνει

$f(\frac{1}{1-f(1)^3})=f(\frac{1}{1-f(1)^3})+f(1)$ , οπότε f(1)=0

, άτοπο. Άρα $\boxed{f(1)=1}$ . (*)

Η P(1,x)

δίνει

. (1)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις $P(x,\frac{y+f(x)^3-x}{f(x)^3})$ και $P(x,\frac{y-x}{f(x)^3})$ (για $x\ne 0$ ), και χρησιμοποιώντας την (*) και την (1) παίρνουμε

$f(y+f(x)^3)-f(y)=x^3f(\frac{y-x}{f(x)^3}+1)-x^3f(\frac{y-x}{f(x)^3})=x^3$ , (2)

η οποία με y=0

δίνει

(3).

Έτσι, η

είναι επί. Έστω $z\in \mathbb{R}$ και $x\in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε f(x)^3=z

, οπότε από την (3) είναι f(z)=x^3

. Τότε η (2) δίνει

f(y+z)=f(y)+x^3=f(y)+f(z)

,

δηλ. η

είναι προσθετική. Από την τελευταία και την P(x,y)

παίρνουμε

,

οπότε x^3f(y)=f(yf(x)^3)

, δηλ.

,

δηλ η

είναι πολλαπλασιαστική.

Έτσι, η μη μηδενική συνάρτηση

είναι προσθετική και πολλαπλασιαστική. Άρα, η

σε αυτη την περίπτωση είναι η ταυτοτική, η οποία ικανοποιεί τη δοθείσα σχέση. Συνεπώς, οι λύσεις είναι η μηδενική και η ταυτοτική.

Σχόλια. (α) Όπως είναι αντιληπτό από την παραπάνω λύση αντί για τον εκθέτη

, θα μπορούσαμε να έχουμε οποιοδήποτε θετικό περιττό εκθέτη

, δηλ.

$\displaystyle f\left(y\left(f\left(x\right)\right)^n+x\right)=x^nf(y)+f(x)$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Δείτε, επίσης, το θέμα αυτό στο AoPS.

(β) Το προτεινόμενο θέμα και η παραπάνω λύση έχουν ανέβει στο AoPS εδώ.

#3

Ασφαλώς μιλάμε για παραλλαγή της άσκησης 3 της ΒΜΟ 2022.

Αξίζει να αναφέρουμε ότι αυτή η παραλλαγή είχε επίσης προταθεί από την Ελλάδα και βρίσκεται στη shortlist ώς εναλλακτική διατύπωση. Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.

#4

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 11:34 pm
... Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.

Ναι, Δημήτρη, συμφωνώ.

Η τελική επιλογή σας αντί της παραπάνω εκδοχής ήταν σοφή επιλογή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 11, 2022 12:04 am

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 11:34 pm
... Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.
Ναι, Δημήτρη, συμφωνώ.

Η τελική επιλογή σας αντί της παραπάνω εκδοχής ήταν σοφή επιλογή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ο Σιλουανός μου είχε ζητήσει να μπει η εκδοχή που επιλέχθηκε πρώτη και η παραλλαγή δεύτερη.

Παραλλαγή!

Παραλλαγή!

Re: Παραλλαγή!

Re: Παραλλαγή!

Re: Παραλλαγή!

Re: Παραλλαγή!

Μέλη σε σύνδεση