Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε .
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Δίνω μία λύση, με αρκετές αμφιβολίες.
Έστω, ως συνήθως, η δοσμένη σχέση.
Θα αποδείξουμε πρώτα τα εξής :
Ιδιότητα 1
Η συνάρτηση είναι 1-1.
Απόδειξη
Έστω , με .
Τότε, έστω αριθμός με (προφανώς τέτοιος αριθμός, υπάρχει, αφού αν δεν υπήρχε, η θα ήταν η μηδενική συνάρτηση, άτοπο).
Τότε, και , και αφού (αφού ).
Έτσι, η δίνει , δηλαδή η είναι 1-1, και το Λήμμα 1 αποδείχτηκε.
Είναι
Ιδιότητα 2
Η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το .
Απόδειξη
Είναι
και
.
Παρατηρούμε ότι οι ποσότητες και καθώς το διατρέχει το ''καλύπτουν'' το (δηλαδή παίρνουν όλες τις τιμές στο ), γεγονός που μας δίνει ότι το σύνολο τιμών της είναι το .
Συνεχίζουμε την λύση.
Αφού η έχει σύνολο τιμών το , υπάρχει ώστε , όπου τυχαίος, αλλά σταθερός πραγματικός αριθμός, και αφού η είναι 1-1, αυτό το είναι το μοναδικό. Επίσης, υπάρχει . ώστε .
Η , και για εδώ (1)
Είναι , (χρησιμοποιήθηκε η (1)) και για σε αυτήν την σχέση, είναι , επομένως , άρα (*), για κάθε .
Είναι τώρα και .
Από (*) τώρα είναι
, για κάθε .
Από , όπου .
Εύκολα παίρνουμε ή .
, γιατί , άρα .
Έτσι, .
Όμως, είναι γνωστό ότι η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες είναι η , άρα είναι η μοναδική λύση, η οποία και επαληθεύει.
Edit: Η λύση διορθώθηκε, μετά από παρατηρήσεις του κ. Παπαδόπουλου Σταύρου, τον οποίο και ευχαριστώ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Ο Γιώργος Μπαλόγλου μου επισήμανε κάποια λάθη στην λύση, παραθέτω εδώ την άποψή του, καθώς, όπως λέει, διορθώνεται η λύση.
gbaloglou έγραψε:Σάβ Ιουν 09, 2018 12:53 am
Στην απόδειξη της πολλαπλασιαστικής ιδιότητας, , έπαιξε καίριο ρόλο η ύπαρξη τέτοιου ώστε . Η ύπαρξη όμως αυτή εξασφαλίζεται από την συνθήκη , ή, με μονοσήμαντη επέκταση της μέσω για διευκόλυνση μας, . Ισχύει δηλαδή η μόνον όταν , και, γενικότερα, ισχύει η μόνον αν ή (ή και τα δύο, εννοείται).
Πως επηρεάζει η παραπάνω παρατήρηση την πορεία της λύσης; Είναι φανερό ότι δεν ισχύει πλέον το έσχατο βήμα της απόδειξης (βασιζόμενο στην γνωστή πρόταση "αν ισχύουν η πολλαπλασιαστική και η αθροιστική ιδιότητα ταυτόχρονα τότε η συνάρτηση είναι σταθερή"). Σώζεται μολαταύτα η απόδειξη μέσω απλού συνδυασμού της προσθετικής ιδιότητας, , και της : υποθέτοντας είτε είτε με ... καταλήγουμε στην αδύνατη σχέση .
Τι γίνεται με άλλα σημεία της απόδειξης; Διασώζονται άπαντα, ευτυχώς! Στον υπολογισμό , για παράδειγμα, το κρίσιμο βήμα γίνεται μέσω της νόμιμης, λόγω , ισότητας και επίσης της
Στην προηγούμενη παράγραφο χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα , που ισχύει πάντοτε (καθώς ισχύει είτε η είτε η ). Πόρισμα αυτής της ιδιότητας είναι ότι για κάθε , οφείλει να ισχύει μία τουλάχιστον από τις , ... και αυτή η παρατήρηση οδηγεί στην απόδειξη της προσθετικής ιδιότητας μέσω είτε της είτε της ... καθώς και της , πάντοτε.
Υπάρχουν ένα ή δύο σημεία ακόμη στην αρχική απόδειξη του Ορέστη όπου είναι φανερό ότι μπορεί να εφαρμοσθεί αυτή η 'περιορισμένη πολλαπλασιαστική ιδιότητα'. Πιστεύω ότι δεν μου διαφεύγει κάτι, και ότι η απόδειξη όντως σώζεται ... αλλά και ότι είναι όντως απαραίτητες οι παραπάνω επισημάνσεις, εννοείται
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Τα έλεγξα όλα ξανά ... και νομίζω ότι όλα είναι εντάξει! Η απόδειξη του Ορέστη, ακόμη και μετά την επιδιόρθωση μου* που ανέβασε χθες, είναι διαφορετική -- και νομίζω απλούστερη -- από την επίσημη λύση (εδώ), όπου πάντως το τέλος είναι το ίδιο (συνδυασμός και ) ... αλλά αντί της για ή χρησιμοποιείται η ... καθώς και ένα 'συστημικό' λήμμα κλπ κλπ
*ας αφαιρεθούν τα περί 'μονοσήμαντης επέκτασης' της μέσω της
*ας αφαιρεθούν τα περί 'μονοσήμαντης επέκτασης' της μέσω της
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Νομίζω ότι η αρχική απόδειξη του Ορέστη χρειάζεται μικρότερη επιδιόρθωση απ' όσο νόμιζα (και είναι επομένως ακόμη καλύτερη από την επίσημη λύση) ... καθώς η πλήρης πολλαπλασιαστική ιδιότητα για , που απαιτείται προκύπτει εύκολα από την περιορισμένη πολλαπλασιαστική ιδιότητα για ή που απέδειξε: πράγματι, ήδη είχα επισημάνει την ισχύ της για κάθε -- λόγω της , καθώς ισχύει μία από τις , -- και προσθέτω τώρα (εφαρμόζοντας ουσιαστικά ένα απλό τέχνασμα της πρώτης μου δημοσίευσης ... για την περίπτωση , ) τηνgbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 10, 2018 2:24 pmΤα έλεγξα όλα ξανά ... και νομίζω ότι όλα είναι εντάξει! Η απόδειξη του Ορέστη, ακόμη και μετά την επιδιόρθωση μου* που ανέβασε χθες, είναι διαφορετική -- και νομίζω απλούστερη -- από την επίσημη λύση (εδώ), όπου πάντως το τέλος είναι το ίδιο (συνδυασμός και ) ... αλλά αντί της για ή χρησιμοποιείται η ... καθώς και ένα 'συστημικό' λήμμα κλπ κλπ
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Μπορείτε να δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 31p6362873
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες