Πρόβλημα με πίνακα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5761
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Πρόβλημα με πίνακα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 24, 2016 1:12 am

Προσδιορίστε το μικρότερο ακέραιο j με την ιδιότητα:
μπορούμε να τοποθετήσουμε στα κελιά ενός πίνακα 10 \times 10 τους ακέραιους αριθμούς από 1 έως 100, χωρίς επαναλήψεις, έτσι ώστε οποιοιδήποτε 10 διαδοχικοί ακέραιοι να βρίσκονται μέσα σε ένα τετράγωνο j \times j, που αποτελείται από κελιά του πίνακα.

Δεν έχω λύση.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5761
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Πρόβλημα με πίνακα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 17, 2017 6:08 pm

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7749
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πρόβλημα με πίνακα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιουν 17, 2017 10:50 pm

Ας δούμε πρώτα ότι δεν γίνεται να έχουμε j=4:

Σίγουρα μόνο ένας από τους αριθμούς 1,2,\ldots,10 μπορεί να είναι σε ένα από τέσσερα γωνιακά τετράγωνα. Επίσης, μόνο ένας από τους αριθμούς 91,\ldots,100 μπορεί να είναι σε ένα από τέσσερα γωνιακά τετράγωνα.

Σίγουρα λοιπόν σε ένα από τα τέσσερα γωνιακά τετράγωνα πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός στο διάστημα \{11,12,\ldots,89\}, έστω ο k. Τότε οι 19 αριθμοί k-9,k-8,\ldots,k,\ldots,k+9 πρέπει να ανήκουν στο j \times j τετράγωνο που περιέχει αυτό το γωνιακό τετράγωνο. Πρέπει λοιπόν j \geqslant 5.

Η κατασκευή που δείχνει ότι το j=5 γίνεται δεν είναι δύσκολη αλλά κάπως φασαριόζικη. Βάζω την πρώτη 25άδα στο 5 \times 5 τετράγωνο άνω αριστερά, την επόμενη στο κάτω αριστερά, την επόμενη στο κάτω δεξιά και την τελευταία στο άνω δεξιά. Πρέπει η τοποθέτηση να γίνει με τέτοιον τρόπο ώστε οι ενδιάμεσες δεκάδες να μπορούν να καλυφθούν με ενδιάμεσα 5 \times 5 τετράγωνα. Η τελική τοποθέτηση αφήνεται στον αναγνώστη. :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης