Βρείτε τις συναρτήσεις

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε τις συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Οκτ 28, 2016 5:36 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq  1, } για κάθε x,y,z \in \mathbb{R}^+.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 16, 2016 9:09 pm

Υπόδειξη:


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 11, 2017 12:02 am

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιουν 11, 2017 12:26 am

Με βάση την υπόδειξη:
Αρχικά θα δείξουμε πως η f είναι άνω και κάτω φραγμένη ως εξής:
P(x,y,z): f(x+y)+f(x+z)\ge 1+f(x)f(y+z),
P(2y,y,y): 2f(3y)\ge 1+(f(2y))^2\ge 1 οπότε f(x)\ge \frac{1}{2},
P(z,z,z): 2f(z)\ge 1+f(z)f(2z) οπότε (2-f(z))f(z)\ge 1. οπότε η f είναι άνω φραγμένη.
Έστω A ο ελάχιστος πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι: A\ge f(x)
και B ο μέγιστος πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι: f(x)\ge B,
Θα δείξουμε ότι A=B.
Από την δοθείσα έχουμε τις σχέσεις:
(1): f(x+y)+f(x+z)\ge B^2+1
(2): 2A\ge f(x)f(y+z)+1
Στις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλες τιμές για τα x,y,z έτσι ώστε να προσεγγίσουμε τις τιμές 2B, A^2+1
(Επειδή δεν είμαι αρκετά σίγουρος για αυτό το βήμα αν επιτρέπεται ενδεχομένως να είναι λάθος).
Οπότε προκύπτει από την (1) πως B=1 και από την (2) πως A=1. Οπότε f(x)=1 \forall x\in\mathbb{R^{+}} η λύση που επαληθεύει
την αρχική σχέση.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 11, 2017 1:19 am

Ωραία, Γιάννη!

Λίγο πιο αυστηρά μπορούμε να πούμε:
Είναι \displaystyle{f(x)\geq \frac{B^2+1}{2}} οπότε, από τον ορισμό του B, είναι \displaystyle{\frac{B^2+1}{2}\leq B} δηλαδή B=1.
Αντίστοιχα για το A.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης