mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 28, 2016 5:36 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq 1, }$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}^+.$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 9:09 pm**

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 11, 2017 12:02 am**

Επαναφορά!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 11, 2017 12:26 am**

Με βάση την υπόδειξη:
Αρχικά θα δείξουμε πως η

είναι άνω και κάτω φραγμένη ως εξής:
$P(x,y,z): f(x+y)+f(x+z)\ge 1+f(x)f(y+z)$ ,
$P(2y,y,y): 2f(3y)\ge 1+(f(2y))^2\ge 1$ οπότε $f(x)\ge \frac{1}{2}$ ,
$P(z,z,z): 2f(z)\ge 1+f(z)f(2z)$ οπότε $(2-f(z))f(z)\ge 1$ . οπότε η

είναι άνω φραγμένη.
Έστω

ο ελάχιστος πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι: $A\ge f(x)$
και

ο μέγιστος πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι: $f(x)\ge B$ ,
Θα δείξουμε ότι A=B

.
Από την δοθείσα έχουμε τις σχέσεις:
(1): $f(x+y)+f(x+z)\ge B^2+1$
(2): $2A\ge f(x)f(y+z)+1$
Στις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλες τιμές για τα x,y,z