Βρείτε τις συναρτήσεις!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε τις συναρτήσεις!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Οκτ 28, 2016 5:39 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle{f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y, } για κάθε x,y\in \mathbb{R}^+.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 04, 2017 11:12 pm

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιουν 04, 2017 11:47 pm

Ας κάνω μία αρχή.
P(x,y): f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y
Αν για κάποιο c ισχύει ότι: 2c>f(c) τότε:
P(c,2c-f(c)): 2c=f(c) άτοπο. Οπότε f(x)\ge 2x  \forall x\in\mathbb{R^{+}}.
Θεωρούμε την συνάρτηση: h(x)=f(x)-2x όπου h:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{S}
όπου S είναι το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών.
Οπότε έχουμε:P(x,y): h(h(x)+2x+2y)+2h(x)=h(2x+y).
Η συνέχεια (αν υπάρξει) αργότερα.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιουν 05, 2017 12:20 am

Υποθέτουμε πως υπάρχει θετικός πραγματικός t τέτοιος ώστε: h(t)>2t (1)
Από την παραπάνω συναρτησιακή σχέση έχουμε πως: h(2a+b)\ge 2h(a) για κάθε θετικούς πραγματικούς a,b (2).
Η (1) γράφεται ισοδύναμα: h(t)+2t+2y\ge 4t+2y=2(2t+y).
Βάζοντας στην (2) a=2t+y και b=h(t)-2t προκύπτει ότι: h(h(t)+2t+2y)\ge 2h(2t+y). Όμως αυτό γίνεται μόνο
αν h(y)=0, \forall y\in\mathbb{R^{+}} λόγω της αρχικής συναρτησιακής.
Αν δεν υπάρχει πραγματικός t τότε 2x\ge h(x) για κάθε θετικό πραγματικό x.
Αύριο θα προσπαθήσω να την προχωρήσω διότι με κούρασε αρκετά.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Ιουν 08, 2017 4:44 pm

Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει;
Θανάση ποια είναι η λύση σου;

Έστω z>0, τότε f(f(x)+2y)+2z=f(2x+y)+2y+2z οπότε f\left(f(f(x)+2y)+2z\right)=f\left(f(2x+y)+2y+2z\right).

Το αριστερό μέλος, λόγω της P(x,y) γίνεται: f(2f(x)+4y+z)+2z=f(4x+3y+z)+2y+2z, οπότε
f(2f(x)+4y+z)=f(4x+3y+z)+2y.

Αν τώρα θέσω όπου z το f(x) παίρνω f(3f(x)+4y)=f(f(x)+4x+3y)+2y=f\left(4x+\frac{3y}{2}\right)+5y+4x (1)

Αν τέλος στην αρχική θέσω όπου y το f(x)+2y παίρνω:
f(3f(x)+4y)=f(2x+2y+f(x))+2f(x)+4y=f(3x+y)+2f(x)+4y+2x+2y (2)

Εξισώνοντας τις (1) και (2) παίρνω: f\left(4x+\frac{3y}{2}\right)+2x=f(3x+y)+2f(x)+y και για y το 2y παίρνουμε:
f(4x+3y)+2x=f(3x+2y)+2f(x)+2y.

Αυτό σημαίνει ότι h(4x+3y)=h(3x+2y)+2h(x).
Έστω a>b. Τότε υπάρχουν x,y ώστε 4x+3y=a και 3x+2y=b, οπότε h(a)\geq h(b).
Από την άλλη η P(x,y) λέει ότι h(h(x)+2x+2y)+2h(x)=h(2x+y)\leq h(h(x)+2x+2y), άρα h(x)\leq 0, άρα h(x)=0.

Έπεται ότι f(x)=2x είναι η μοναδική λύση.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 11, 2017 2:33 pm

silouan έγραψε:Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει;
Θανάση ποια είναι η λύση σου;
Σιλουανέ, η λύση σου μού φαίνεται μια χαρά! :)



Η λύση μου:

Η δοθείσα γράφεται \displaystyle{f(f(x)-4χ+2y)=f(y)+2y-4χ, } για κάθε y>2x>0.

Έστω a,b>0. Γράφουμε d=f(a)-4a-f(b)+4b και k=4b-4a.

Από την αρχική, για x=a και x=b έχουμε \displaystyle{f(x+d)=f(x)+k} για όλα τα μεγάλα x.

Θέτοντας στην αρχική y\to y+d έχουμε τελικά k=2d, οπότε η συνάρτηση f(x)-2x είναι σταθερή στο \Bbb{R}^+.



Άλλη μια λύση υπάρχει εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1320230


Θανάσης Κοντογεώργης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιουν 11, 2017 5:12 pm

Χμμμ... Τελικά είχε μείνει ένα απλό βήμα στην λύση μου... Ωραίες και οι άλλες λύσεις!


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης