Σελίδα 1 από 1
Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 28, 2016 5:39 pm
από socrates
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις
τέτοιες ώστε
για κάθε
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 04, 2017 11:12 pm
από socrates
Επαναφορά!
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 04, 2017 11:47 pm
από Γιάννης Μπόρμπας
Ας κάνω μία αρχή.
Αν για κάποιο
ισχύει ότι:
τότε:
άτοπο. Οπότε
.
Θεωρούμε την συνάρτηση:
όπου
όπου
είναι το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών.
Οπότε έχουμε:
.
Η συνέχεια (αν υπάρξει) αργότερα.
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 05, 2017 12:20 am
από Γιάννης Μπόρμπας
Υποθέτουμε πως υπάρχει θετικός πραγματικός
τέτοιος ώστε:
(1)
Από την παραπάνω συναρτησιακή σχέση έχουμε πως:
για κάθε θετικούς πραγματικούς
(2).
Η (1) γράφεται ισοδύναμα:
.
Βάζοντας στην (2)
και
προκύπτει ότι:
. Όμως αυτό γίνεται μόνο
αν
λόγω της αρχικής συναρτησιακής.
Αν δεν υπάρχει πραγματικός
τότε
για κάθε θετικό πραγματικό
.
Αύριο θα προσπαθήσω να την προχωρήσω διότι με κούρασε αρκετά.
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιουν 08, 2017 4:44 pm
από silouan
Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει;
Θανάση ποια είναι η λύση σου;
Έστω
, τότε
οπότε
.
Το αριστερό μέλος, λόγω της
γίνεται:
, οπότε
.
Αν τώρα θέσω όπου
το
παίρνω
(1)
Αν τέλος στην αρχική θέσω όπου
το
παίρνω:
(2)
Εξισώνοντας τις (1) και (2) παίρνω:
και για
το
παίρνουμε:
.
Αυτό σημαίνει ότι
.
Έστω
. Τότε υπάρχουν
ώστε
και
, οπότε
.
Από την άλλη η
λέει ότι
, άρα
, άρα
.
Έπεται ότι
είναι η μοναδική λύση.
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 11, 2017 2:33 pm
από socrates
silouan έγραψε:Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει;
Θανάση ποια είναι η λύση σου;
Σιλουανέ, η λύση σου μού φαίνεται μια χαρά!
Η λύση μου:
Η δοθείσα γράφεται
για κάθε
Έστω
Γράφουμε
και
Από την αρχική, για
και
έχουμε
για όλα τα μεγάλα
Θέτοντας στην αρχική
έχουμε τελικά
οπότε η συνάρτηση
είναι σταθερή στο
Άλλη μια λύση υπάρχει εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1320230
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 11, 2017 5:12 pm
από Γιάννης Μπόρμπας
Χμμμ... Τελικά είχε μείνει ένα απλό βήμα στην λύση μου... Ωραίες και οι άλλες λύσεις!