Συναρτησιακή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Τετ Νοέμ 02, 2016 7:18 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση
g(f(x+y)=f(x)+(2x+y)g(y),\forall x,y \in \mathbb{R}.
Όταν λυθεί θα δώσω και την πηγή.


Σημαντήρης Γιάννης

Λέξεις Κλειδιά:
simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Πέμ Νοέμ 24, 2016 5:46 pm

Επαναφορά!


Σημαντήρης Γιάννης
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Νοέμ 26, 2016 6:48 pm

simantiris j. έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση
g(f(x+y)=f(x)+(2x+y)g(y)\quad \quad(1),\forall x,y \in \mathbb{R}.
y=0\quad \quad(1)\Rightarrow g(f(x))=f(x)+2xg(0)\quad (2)

y\to y-x\quad \quad(1)\Rightarrow g(f(x))=f(x)+(x+y)g(y-x)\stackrel{(2)}\Rightarrow(x+y)g(y-x)=2g(0)x\quad (3)

x=1,y=-1\quad \quad (3)\Rightarrow g(0)=0

άρα g(x)=0,x\in \mathbb R και f(x)=0,x\in \mathbb R


Φωτεινή Καλδή
simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Κυρ Νοέμ 27, 2016 10:28 am

Γεια σας κ.Φωτεινή,υπάρχουν και άλλες λύσεις που ικανοποιούν τη δοσμένη.Το λάθος νομίζω βρίσκεται στο y\to y-x\quad \quad(1)\Rightarrow g(f(x))=f(x)+(x+y)g(y-x) καθώς με την αντικατάσταση που κάνατε είναι g(f(y))=f(x)+(x+y)g(y-x),οπότε η (3) είναι λανθασμένη.


Σημαντήρης Γιάννης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Νοέμ 27, 2016 5:57 pm

Έστω

\displaystyle{g\left( {f\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( x \right) + \left( {2x + y} \right)g\left( y \right)} \bf\color{red} \left( 1 \right)

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Εναλλάσσοντας τα x και y στη σχέση \bf\color{red} \left( 1 \right) βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{g\left( {f\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( y \right) + \left( {2y + x} \right)g\left( x \right)} \bf\color{red} \left( 2 \right)

για κάθε x, y \in \mathbb{R}.

Από τις σχέσεις \bf\color{red} \left( 1 \right) και \bf\color{red} \left( 2 \right) προκύπτει ότι

\displaystyle{f\left( x \right) + \left( {2x + y} \right)g\left( y \right) = f\left( y \right) + \left( {2y + x} \right)g\left( x \right)} \bf\color{red} \left( 3 \right)

για κάθε x, y \in \mathbb{R}.

Θέτουμε \displaystyle{a = g\left( 1 \right) - g\left( 0 \right),} \displaystyle{b = g\left( 0 \right)} και \displaystyle{c = f\left( 0 \right).}

Θέτοντας y=0 στη σχέση \bf\color{red} \left( 3 \right) βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{f\left( x \right) + 2bx = c + xg\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = xg\left( x \right) - 2bx + c} \bf\color{red} \left( 4 \right)

για κάθε x \in \mathbb{R}.

Από τις σχέσεις \bf\color{red} \left( 1 \right) και \bf\color{red} \left( 4 \right) βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{xg\left( x \right) - 2bx + c + 2xg\left( y \right) + yg\left( y \right) = yg\left( y \right) - 2by + c + 2yg\left( x \right) + xg\left( x \right) \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow x\left[ {g\left( y \right) - b} \right] = y\left[ {g\left( x \right) - b} \right],}

από όπου, για x,y \neq 0, προκύπτει ότι

\displaystyle{\frac{{g\left( x \right) - b}}{x} = \frac{{g\left( y \right) - b}}{y}}

για κάθε x,y \neq 0. Άρα, είναι

\displaystyle{\frac{{g\left( x \right) - b}}{x} = \frac{{g\left( 1 \right) - b}}{1} = a \Rightarrow g\left( x \right) = ax + b}

για κάθε x \neq 0. Επειδή, όμως, η σχέση αυτή ισχύει και για x=0, έχουμε ότι \displaystyle{g\left( x \right) = ax + b} για κάθε x \in \mathbb{R}.

Με αντικατάσταση στη σχέση \bf\color{red} \left( 4 \right) βρίσκουμε ότι

\displaystyle{f\left( x \right) = a{x^2} - bx + c}

για κάθε x \in \mathbb{R}.

Αντικαθιστώντας στη σχέση \bf\color{red} \left( 1 \right), βρίσκουμε ότι πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{a^2} = a}\\ 
{ - ab = b}\\ 
{ac + b = c} 
\end{array}} \right\},}

από όπου προκύπτει ότι είτε \displaystyle{a = b = c = 0,} είτε \displaystyle{a = 1,} \displaystyle{b = 0} και c \in \mathbb{R}.

Ώστε, έχουμε δύο περιπτώσεις:

\bullet \displaystyle{f\left( x \right) = g\left( x \right) = 0} για κάθε x \in \mathbb{R},

\bullet \displaystyle{f\left( x \right) = {x^2} + c} και \displaystyle{g\left( x \right) = x} για κάθε x \in \mathbb{R}, όπου c \in \mathbb{R} τυχαίος.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: Συναρτησιακή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Δευ Νοέμ 28, 2016 2:27 pm

Σωστά!
Αν και τελικά δεν επηρεάζει την λύση,το g(0)=0 μπορεί να αποδειχθεί πριν την εύρεση της μορφής των συναρτήσεων.
Έχουμε ότι P(0,0) \Rightarrow g(f(0))=f(0)
P(-x,2x) \Rightarrow g(f(x))=f(-x)
P(x,0) \Rightarrow g(f(x))=f(x)+2xg(0) (1).
Αν g(0)\neq 0 τότε από (1) η f είναι 1-1.
Επίσης P(-f(x),f(x)) \Rightarrow g(f(0))=f(-f(x))-f(x)g(f(x)) \Rightarrow f(-f(x))=f(x)f(-x)+f(0)
Θέτωντας στην τελευταία όπου x το -x έχουμε f(-f(x))=f(-f(-x))\Rightarrow f(x)=f(-x)\Rightarrow x=0 λόγω του 1-1,άτοπο,άρα g(0)=0.Η συνέχεια όπως πάνω.

Η άσκηση αυτή είναι το Α3 της IMO Shortlist 2011.


Σημαντήρης Γιάννης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης