Όμορφη ανισότητα

Datis-Kalali · #1

Αν

ειναι θετικοί πραγματικοί αριθμοι, έτσι ώστε ab+ac+bc=3

, να αποδείξετε ότι¨
$3+\frac {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} \ge \frac{c+a^2b^2}{a+b}+\frac{a+b^2c^2}{b+c}+\frac{b+c^2a^2}{c+a}$

M.S.Vovos · #2

Ο τίτλος "βγάζει" μάτι πάντως

.

Datis-Kalali · #3

#4

M.S.Vovos έγραψε:Ο τίτλος "βγάζει" μάτι πάντως .

Μάριε, αν δεις και τα άλλα ποστ του Datis-Kalali θα διαπιστώσεις ότι τα Ελληνικά
δεν είναι η μητρική του γλώσσα, πλην όμως έχει αναμφισβήτητη αγάπη για τα Μαθηματικά.

M.S.Vovos · #5

Το σκέφτηκα κύριε Μιχάλη, γι' αυτό και το αστείο προσωπάκι. Ο τόνος μου, ούτως ή άλλως, δεν είχε καθόλου επικριτικό χαρακτήρα. Πρέπει να αλλαχτεί όμως.

dement · #6

Με λίγες πράξεις φαίνεται ότι το αριστερό μέλος είναι a^2 + b^2 + c^2

.

Για το δεξί μέλος:

1. $\displaystyle \sum \frac{c}{a+b} = \frac{1}{ab+bc+ca} \left( \sum a^2 + abc \sum \frac{1}{a+b} \right) \leqslant \frac{1}{3} \left( \sum a^2 + \frac{abc}{2} \sum \frac{1}{a} \right) =$

$\displaystyle = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} + \frac{ab+bc+ac}{6} \leqslant \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$ (με χρήση της ανισότητας Jensen στην κυρτή συνάρτηση 1/x

).

2. $\displaystyle \frac{a^2b^2}{a+b} \leqslant \frac{a^2b + ab^2}{4} \implies \frac{a^2b^2}{a+b} + \frac{b^2c^2}{b+c} + \frac{a^2c^2}{a+c} \leqslant \frac{1}{4} \left( a^2 (b+c) + b^2 (a+c) + c^2 (a+b) \right) \leqslant$

$\displaystyle \leqslant \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} \sqrt{ \frac{a^2 (b+c)^2 + b^2 (a+c)^2 + c^2 (a+b)^2}{a^2+b^2+c^2}}$ (με Jensen στην κοίλη $\sqrt{x}$ ). Από Muirhead έχουμε

$\displaystyle a^2(b+c)^2 + b^2 (a+c)^2 + c^2 (a+b)^2 \leqslant \frac{4}{3} (a^2 + b^2 + c^2)(ab +bc + ca) = 4(a^2 + b^2 + c^2)$ και έτσι

$\displaystyle \frac{a^2b^2}{a+b} + \frac{b^2c^2}{b+c} + \frac{a^2c^2}{a+c} \leqslant \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Προσθέτοντας τα δύο έχουμε το ζητούμενο.

Όμορφη ανισότητα

Όμορφη ανισότητα

Re: Ομορφη ανησοτητας

Re: Ομορφη ανησοτητας

Re: Ομορφη ανησοτητας

Re: Όμορφη ανισότητα

Re: Όμορφη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση