Καλή και ομορφη ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Καλή και ομορφη ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τετ Μαρ 01, 2017 6:38 pm

Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε οτι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}



Λέξεις Κλειδιά:
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τετ Μαρ 01, 2017 7:57 pm

Datis-Kalali έγραψε:Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε οτι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}
Edit: λάθος λύση.
τελευταία επεξεργασία από Friedoon σε Τετ Μαρ 01, 2017 8:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μαρ 01, 2017 8:01 pm

Friedoon έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε οτι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}

Άρα από Lagrange multipliers με L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)
παίρνουμε πως η παράσταση \frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2} με τον περιορισμό a+b+c=1
εμφανίζει μέγιστο όταν a=b=c=\frac{1}{3}
Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές που θα συμμετάσχουν σε Διαγωνισμούς επιπέδου Αρχιμήδη και άνω, πρέπει να αναφέρουμε ότι μία τέτοια "λύση" βαθμολογείται με ΜΗΔΕΝ βαθμούς!


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3068
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 01, 2017 8:07 pm

Friedoon έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε οτι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}
3(ab+bc+ac)\le (a+b+c)^2 \Rightarrow ab+bc+ac \le \frac{1}{3}
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(\frac{1}{3})^3}=27
Όμως, \frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{(1-c)^2} και \frac{1}{(a+c)^2}=\frac{1}{(1-b)^2} και \frac{1}{(c+b)^2}=\frac{1}{(1-a)^2}
Άρα από Lagrange multipliers με L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)
παίρνουμε πως η παράσταση \frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2} με τον περιορισμό a+b+c=1
εμφανίζει μέγιστο όταν a=b=c=\frac{1}{3}
Άρα
\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2} \le \frac{27}{4}<27
και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Και γιατί αγαπητέ Ανδρέα δεν παίρνει ελάχιστο όταν a=b=c
Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο αλλά θα πρέπει να δικαιολογήσουμε γιατί έχουμε
μέγιστο η ελάχιστο.


Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τετ Μαρ 01, 2017 8:11 pm

matha έγραψε:
Friedoon έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε οτι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}

Άρα από Lagrange multipliers με L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)
παίρνουμε πως η παράσταση \frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2} με τον περιορισμό a+b+c=1
εμφανίζει μέγιστο όταν a=b=c=\frac{1}{3}
Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές που θα συμμετάσχουν σε Διαγωνισμούς επιπέδου Αρχιμήδη και άνω, πρέπει να αναφέρουμε ότι μία τέτοια "λύση" βαθμολογείται με ΜΗΔΕΝ βαθμούς!
Απαγορεύεται η χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange στον Αρχιμήδη;


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μαρ 01, 2017 8:17 pm

Friedoon έγραψε:
matha έγραψε:
Friedoon έγραψε:
Άρα από Lagrange multipliers με L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)
παίρνουμε πως η παράσταση \frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2} με τον περιορισμό a+b+c=1
εμφανίζει μέγιστο όταν a=b=c=\frac{1}{3}
Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές που θα συμμετάσχουν σε Διαγωνισμούς επιπέδου Αρχιμήδη και άνω, πρέπει να αναφέρουμε ότι μία τέτοια "λύση" βαθμολογείται με ΜΗΔΕΝ βαθμούς!
Απαγορεύεται η χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange στον Αρχιμήδη;
Όχι! Ωστόσο είναι μάλλον δύσκολο (όχι αδύνατο) να δικαιολογήσει κάποιος μαθητή με ορθότητα και πληρότητα τα επιχειρήματά του.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης