Εξίσωση με πολυώνυμους.

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Εξίσωση με πολυώνυμους.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Πέμ Νοέμ 23, 2017 7:24 pm

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) που ικανοποιούν τη εξίσωση P(x^2)= (P(x))^2



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Εξίσωση με πολυώνυμους.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Νοέμ 23, 2017 8:35 pm

Έστω P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0. Αν το P είναι σταθερό τότε θα είναι P(x)=0,1 για κάθε x. Aν το P δεν είναι σταθερό τότε συγκρίνοντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των δύο μελών έχουμε: a_n=a_n^2 άρα (αφού a_n ≠0) το P είναι μονικό. Εστω a_i ο συντελεστής του αμέσως επόμενου μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου μετά το x^n. Αν δεν έχει τότε θα είναι P(x)=x^n για κάθε θετ. ακέραιο n και για κάθε x. Εξισώντας τους συντελεστές έχουμε: a_i=2a_i δηλ. a_i=0, άτοπο.

Συμπερασματικά P(x)=0,1,x^n για κάθε x και για οποιονδήποτε n \in \mathbb {Z^+}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες