Εξίσωση με πολυώνυμους.

Datis-Kalali · #1

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x)

που ικανοποιούν τη εξίσωση P(x^2)= (P(x))^2

harrisp · #2

Έστω

. Αν το

είναι σταθερό τότε θα είναι P(x)=0,1

για κάθε

. Aν το

δεν είναι σταθερό τότε συγκρίνοντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των δύο μελών έχουμε: a_n=a_n^2

άρα (αφού

) το

είναι μονικό. Εστω a_i

ο συντελεστής του αμέσως επόμενου μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου μετά το x^n

. Αν δεν έχει τότε θα είναι P(x)=x^n

για κάθε θετ. ακέραιο

και για κάθε

. Εξισώντας τους συντελεστές έχουμε: a_i=2a_i

δηλ.

, άτοπο.

Συμπερασματικά P(x)=0,1,x^n

για κάθε

και για οποιονδήποτε $n \in \mathbb {Z^+}$ .