Συναρτησιακή εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am

Έστω ότι N είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:N \rightarrow N, έτσι ώστε f(f(n)-n)=2n για κάθε θετικό ακέραιο n



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 795
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Δεκ 31, 2017 2:00 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am
Έστω ότι N είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:N \rightarrow N, έτσι ώστε f(f(n)-n)=2n για κάθε θετικό ακέραιο n
Με επιφύλαξη:

Από τον ορισμό της συγκεκριμένης συνάρτησης θα πρέπει:

f(n)-n>0 \Rightarrow f(n)>n

Θέτουμε:

f(n)=n+h(n) (1) με h:N \rightarrow N

Άρα f(h(n))=2n (2)

Αντικαθιστώντας στην (1) όπου n το h(n) και λόγω της (2) έχουμε:

h(n)+h(h(n))=2n (3)

Θεωρούμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση a_{k+1}=h(a_k), με a_0=n και a_1=h(n).

Αφού h(n)>0 για κάθε θετικό ακέραιο n, έχουμε πως a_k>0 για κάθε μη αρνητικό k.

Η (3) μπορεί να γραφεί a_{k+2}+a_{k+1}-2a_k=0, k\geq 0 (αφού πρακτικά μπορούμε να θέτουμε στην (3) όπου n το h(n) για να προχωρούμε σε επόμενο k).

Η χαρακτηριστική εξίσωση x^2+x-2=0 έχει λύσεις 1 και -2, άρα:

a_k=(1)^k\cdot A+(-2)^k\cdot B=A+(-2)^k\cdot B, όπου A+B=a_0=n και A-2B=a_1=h(n), άρα A=\dfrac{2n+h(n)}{3} και B=\dfrac{n-h(n)}{3}.

Οπότε a_k=\dfrac{2n+h(n)}{3}+(-2)^k\cdot \dfrac{n-h(n)}{3} (4).

Έστω πως για κάποιο n_0 ήταν h(n_0)<n_0. Τότε επιλέγοντας ένα αρκετά μεγάλο περιττό k θα παίρναμε από την (4) ότι a_k<0 άτοπο. Ομοίως αν υπήρχε κάποιο n_0 ώστε h(n_0)>n_0, θα επιλέγαμε ένα αρκετά μεγάλο άρτιο k και πάλι θα παίρναμε από την (4) ότι a_k<0 άτοπο.

Οπότε h(n)=n και f(n)=2n για κάθε θετικό ακέραιο n.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης