Συναρτησιακή εξίσωση

Datis-Kalali · #1

Έστω ότι

είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:N \rightarrow N$ , έτσι ώστε f(f(n)-n)=2n

για κάθε θετικό ακέραιο

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Datis-Kalali έγραψε: Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am Έστω ότι είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:N \rightarrow N$ , έτσι ώστε για κάθε θετικό ακέραιο

Με επιφύλαξη:

Από τον ορισμό της συγκεκριμένης συνάρτησης θα πρέπει:

$f(n)-n>0 \Rightarrow f(n)>n$

Θέτουμε:

f(n)=n+h(n)

(1) με $h:N \rightarrow N$

Άρα f(h(n))=2n

(2)

Αντικαθιστώντας στην (1) όπου

το

και λόγω της (2) έχουμε:

h(n)+h(h(n))=2n

(3)

Θεωρούμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση $a_{k+1}=h(a_k)$ , με a_0=n

και

.

Αφού

για κάθε θετικό ακέραιο

, έχουμε πως a_k>0

για κάθε μη αρνητικό

.

Η (3) μπορεί να γραφεί $a_{k+2}+a_{k+1}-2a_k=0, k\geq 0$ (αφού πρακτικά μπορούμε να θέτουμε στην (3) όπου

το

για να προχωρούμε σε επόμενο

).

Η χαρακτηριστική εξίσωση x^2+x-2=0

έχει λύσεις

και

, άρα:

$a_k=(1)^k\cdot A+(-2)^k\cdot B=A+(-2)^k\cdot B$ , όπου A+B=a_0=n

και

, άρα $A=\dfrac{2n+h(n)}{3}$ και $B=\dfrac{n-h(n)}{3}$ .

Οπότε $a_k=\dfrac{2n+h(n)}{3}+(-2)^k\cdot \dfrac{n-h(n)}{3}$ (4).

Έστω πως για κάποιο n_0

ήταν

. Τότε επιλέγοντας ένα αρκετά μεγάλο περιττό

θα παίρναμε από την (4) ότι a_k<0

άτοπο. Ομοίως αν υπήρχε κάποιο n_0

ώστε

, θα επιλέγαμε ένα αρκετά μεγάλο άρτιο

και πάλι θα παίρναμε από την (4) ότι a_k<0

άτοπο.

Οπότε h(n)=n

και

για κάθε θετικό ακέραιο

.

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση