Συναρτησιακή εξίσωση
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Συναρτησιακή εξίσωση
Έστω ότι είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , έτσι ώστε για κάθε θετικό ακέραιο
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , έτσι ώστε για κάθε θετικό ακέραιο
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συναρτησιακή εξίσωση
Με επιφύλαξη:Datis-Kalali έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 amΈστω ότι είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , έτσι ώστε για κάθε θετικό ακέραιο
Από τον ορισμό της συγκεκριμένης συνάρτησης θα πρέπει:
Θέτουμε:
(1) με
Άρα (2)
Αντικαθιστώντας στην (1) όπου το και λόγω της (2) έχουμε:
(3)
Θεωρούμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση , με και .
Αφού για κάθε θετικό ακέραιο , έχουμε πως για κάθε μη αρνητικό .
Η (3) μπορεί να γραφεί (αφού πρακτικά μπορούμε να θέτουμε στην (3) όπου το για να προχωρούμε σε επόμενο ).
Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει λύσεις και , άρα:
, όπου και , άρα και .
Οπότε (4).
Έστω πως για κάποιο ήταν . Τότε επιλέγοντας ένα αρκετά μεγάλο περιττό θα παίρναμε από την (4) ότι άτοπο. Ομοίως αν υπήρχε κάποιο ώστε , θα επιλέγαμε ένα αρκετά μεγάλο άρτιο και πάλι θα παίρναμε από την (4) ότι άτοπο.
Οπότε και για κάθε θετικό ακέραιο .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης