Ωραία ανισότητα!

Datis-Kalali · #1

Αν

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι $\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge xyz+ \frac{3}{4}\vert{(x-y)(y-z)(z-x)\vert$

#2

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{z=\min \{x,y,z\}}$ , οπότε υπάρχουν $\displaystyle{a,b\geq 0,}$ ώστε $\displaystyle{x=z+a, y=z+b.}$ .

Τότε η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\frac{(z+a)^3+(z+b)^3+z^3}{3}\geq z(z+a)(z+b)+\frac{3}{4}ab|a-b|}$

δηλαδή

$\displaystyle{z(a^2-ab+b^2)+\frac{a^3+b^3}{3}\geq \frac{3}{4}ab|a-b|}$ .

Επειδή είναι $\displaystyle{z(a^2-ab+b^2)\geq 0,}$ αρκεί να ισχύει

$\displaystyle{4(a^3+b^3)\geq 9ab|a-b|.}$ Αν $\displaystyle{b=0,}$ ισχύει φανερά.

Αν $\displaystyle{b\ne 0}$ , λόγω ομογένειας, υποθέτουμε $\displaystyle{b=1}$ και ας είναι $\displaystyle{a\geq b,}$ οπότε θέλουμε $\displaystyle{4(a^3+1)\geq 9a(a-1)\iff 4a^3+9a+4\geq 9a^2.}$

Είναι $\displaystyle{4a^3+9a+4\geq 12a^2+4>9a^2}$

Ωραία ανισότητα!

Ωραία ανισότητα!

Re: Ωραία ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση