Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2557
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Φεβ 28, 2018 5:01 pm

Η συνάρτηση F_m(a)=\displaystyle\sum_{k=1}^{k=m}\binom{m+k}{2k}a^{k-1} έχει ενδιαφέρουσες παραγοντοποιήσεις, για μικρές τιμές της παραμέτρου m τουλάχιστον. Μπορεί κανείς να πει κάτι περισσότερο;

[Μου παρουσιάστηκε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης άλλου προβλήματος. Δεν έχω απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, και δεν ξέρω αν είναι αυτός ο σωστός φάκελος.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 28, 2018 8:28 pm

Σχετίζεται με τα πολυώνυμα Chebychev. Βγάζω ότι

\displaystyle F_m(-4\sin^2{\vartheta}) = \frac{\cos{\vartheta} - \cos{((2m+1)\vartheta)}}{4\sin^2{\vartheta}} = \frac{\sin{(m\vartheta)}\sin{(m+1)\vartheta}}{2\sin^2{\vartheta}}

Από αυτό, είναι άμεσο να βρούμε τις ρίζες του F. Βγαίνει λοιπόν ότι

F_m(x) = P_m(x)P_{m+1}(x)

όπου

\displaystyle  P_n(x) = \prod_{k=1}^{[(n-1)/2]} \left(x + 4\sin^2{\left(\frac{k\pi}{n} \right)}\right)


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 01, 2018 1:02 pm

Ας δούμε και περισσότερες λεπτομέρειες.

Θα εργαστώ με την \displaystyle  A_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{2k} x^k. Θα χρησιμοποιήσω επίσης και την \displaystyle  B_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n+k}{2k+1} x^k.

Ας θυμηθούμε ότι \displaystyle  \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} για k \geqslant 1. Αποδεικνύεται είτε αλγεβρικά είτε και συνδυαστικά παρατηρώντας ότι υπάρχουν \binom{n-1}{k-1} τρόποι να επιλέξω k στοιχεία από τα \{1,2,\ldots,n\} εκ των οποίων το ένα να είναι το n, και \binom{n-1}{k} τρόποι να επιλέξω k στοιχεία από τα \{1,2,\ldots,n\} χωρίς να επιλέξω το n.

Από εδώ βγαίνουν οι αναδρομικές σχέσεις: A_{n+1} = A_n + xB_{n+1} και B_{n+1} = B_n + A_n. Άρα

\displaystyle  \displaystyle{A_{n+2} = A_{n+1} + xB_{n+2} = A_{n+1} + xB_{n+1} + xA_{n+1} = A_{n+1} + (A_{n+1}-A_n) + xA_{n+1} = (x+2)A_{n+1} - A_n}

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι \displaystyle  \lambda^2 - (x+2)\lambda + 1 με ρίζες \displaystyle  \frac{x+2 \pm \sqrt{x(x+4)}}{2}

Για x = -4\sin^2{\vartheta}, μετά από πράξεις βγαίνει ότι οι ρίζες είναι οι e^{\pm 2i\vartheta}.

Οπότε υπάρχουν σταθερές C,D ώστε A_n(x) = Ce^{2ni\vartheta} + De^{-2in\vartheta} για κάθε n. Οι περιπτώσεις n=0,1 δίνουν

C+D = 1 και Ce^{2i\vartheta} + De^{-2i\vartheta} = 1 -4\sin^2{\vartheta}. Η δεύτερη εξίσωση γίνεται (C+D)\cos{2\vartheta} + (C-D)i\sin{2\vartheta} = 1-4\sin^2{\vartheta}. Λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε στα \displaystyle  C = \frac{1+i\tan{\vartheta}}{2} και \displaystyle  D = \frac{1-i\tan{\vartheta}}{2}

Άρα \displaystyle A_n(x) = \cos(2n\vartheta) + i(\tan{\vartheta})(i\sin{2\vartheta}) = \frac{\cos{(2n\vartheta)}\cos{\vartheta}-\sin{\vartheta}\sin{(2n\vartheta)}}{\cos{\vartheta}} = \frac{\cos{(2n+1)\vartheta}}{\cos{\vartheta}}


Επειδή A_n(x) = xF_n(x)+1, καταλήγουμε στον τύπο που έγραψα στην πρώτη μου ανάρτηση.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2557
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Μαρ 01, 2018 3:20 pm

Δημήτρη σ' ευχαριστώ, όντως από πολυώνυμα Chebychev (αλλά και από κάτι άλλο) είχα ξεκινήσει, ύστερα όμως από μία μικρή τροποποίηση νόμιζα ότι έφτασα σε κάτι διαφορετικής 'τεχνοτροπίας'... (Βλέπε σχετική συζήτηση εδώ.)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης