Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1263
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Απρ 19, 2018 12:52 pm

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα P(x), Q(x) με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

\displaystyle{P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}}


Σιλουανός Μπραζιτίκος

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Απρ 22, 2018 5:17 pm

Το γεγονός ότι η εκφώνηση δεν λέει "(αν υπάρχουν)" με ανησυχεί λίγο, αλλά για να δούμε...

Γράφουμε την εξίσωση ως P(x)^9 \left( P(x) + 1 \right) = Q(x)^{20} \left( Q(x) + 1 \right).

Έστω x \in \mathbb{C} κοινή ρίζα των P, Q. Τότε, για τις αλγεβρικές της πολλαπλότητες στα δύο πολυώνυμα ισχύει 9 m_p (x) = 20 m_q (x) \implies \exists k \in \mathbb{N} \ m_p(x) = 20k \wedge m_q(x) = 9k.

Εκτελούμε παρόμοιους συλλογισμούς για τα ζεύγη πολυωνύμων (P, Q+1), (P+1, Q), (P+1, Q+1). Μαζί με το γεγονός ότι τα ζεύγη (P, P+1), (Q, Q+1) προφανώς δεν έχουν κοινές ρίζες, μπορούμε να γράψουμε τα πολυώνυμα ως

P(x) = a B(x)^{20} R(x), P(x)+1 = b D(x)^{20} S(x), Q(x) = c B(x)^9 D(x), Q(x)+1 = d R(x)^9 S(x) με a, b, c, d \in \mathbb{R}.

Έστω d_B, d_R, d_D, d_S οι βαθμοί των αντίστοιχων πολυωνύμων.

Ισχύουν 20 d_B + d_R = 20 d_D + d_S και 9 d_B + d_D = 9 d_R + d_S, από όπου προκύπτουν \displaystyle d_D = \frac{11}{21} d_B + \frac{10}{21} d_R και \displaystyle d_S = \frac{200}{21} d_B - \frac{179}{21} d_R. Έτσι, αφού \gcd (11,10) = \gcd (200, 179) = 1, υπάρχει k \in \mathbb{Z} με d_D = d_R + 11k, \ d_B = d_R + 21k, \ d_S = d_R + 200k.

Παραγωγίζουμε την a B(x)^{20} R(x) + 1 = b D(x)^{20} S(x) και παίρνουμε a B^{19} \left(20 B' R + B R' \right) = b D^{19} \left(20 D' S + D S' \right). Αφού τα B, D δεν έχουν κοινές ρίζες, B^{19} \mid 20 D' S + D S' \implies 19 d_B < d_D + d_S (αφού το 20 D' S + D S' δεν μπορεί να μηδενιστεί λόγω μη σταθερότητας). Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες τιμές βρίσκουμε 17 d_R < - 188 k \implies k < 0.

Με τον ίδιο τρόπο, παραγωγίζοντας την c B(x)^9 D(x) + 1 = d R(x)^9 S(x) παίρνουμε B^8 \mid 9 R' S + R S' \implies 3 d_R < 16 k \implies k > 0.

Έτσι, έχουμε άτοπο και τα δύο μη σταθερά πολυώνυμα δεν υπάρχουν.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Απρ 22, 2018 8:07 pm

Νομίζω ότι η λύση σας είναι ολόσωστη!! Να αναφέρω ότι η άσκηση είναι από πρόσφατο πολύ απαιτητικό δοαγωνισμό!!!


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1263
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Απρ 22, 2018 9:12 pm

Έκανα κακή μεταφορά στη διατύπωση της εκφώνησης. Δημήτρη, ευχαριστούμε για τη λύση.
Η άσκηση είναι από τον φετινό RMM https://artofproblemsolving.com/communi ... 66p9926974

Δίνω και τα βασικά βήματα για τη δική μου λύση:
Παραγωγίζουμε τη σχέση οπότε \displaystyle{ P' \cdot P^8 \cdot \left( 10P + 9 \right) 	= Q' \cdot Q^{19} \cdot \left( 21Q + 20 \right)}
Τώρα λόγω της αρχικής το 21Q+20 δεν έχει κοινές ρίζες ούτε με το P ούτε με το 10P+9 οπότε διαιρεί το υπόλοιπο, που δεν γίνεται με σύγκριση βαθμών.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης