Συναρτησιακή εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 6:25 pm

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+ τέτοια ώστε \displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y) για κάθε x,y\in\mathbb{R}^+.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 08, 2018 1:11 am

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
min##
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Σεπ 08, 2018 3:26 pm

Αν υπήρχε k,f(k)<k θα βάζαμε στην αρχική (x,y)\to(k,k-f(k)) και θα καταλήγαμε σε 0=3k+(k-f(k))f(k-f(k)) > 0
,δηλαδή άτοπο.Άρα f(x)\geq x.Με βάση αυτό,RHS=LHS\geq f(x)+y,δηλαδή f(x)\geq 1 για όλα τα δοσμένα x.

Με (x,y)\to(x,f(y)) και αφαιρώντας την κυκλική αυτής που προκύπτει,επειδή το ένα μέλος είναι συμμετρικό,θα ισχύει f(x)(f(f(x))-1)-3x=f(y)(f(f(y))-1)-3y=t.Άρα και t\geq x(x-1)-3x,αφού f(f(x))\geq f(x)\geq x,1,
το οποίο για μεγάλα x είναι άτοπο(0 βαθμός vs 2 βαθμός)κλπ..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης