Πολυώνυμο

#1

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P(x)

με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

$\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)$

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}$ με x+y+z=0

#2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

$\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)$

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}$ με

Απάντηση: Τα πολυώνυμα $0, \, 1, \, -1, \, x, \, -x$ .

Για σταθερά πολυώνυμα, p(x)=c

, η δοθείσα γίνεται 3c^3=3c

, και άρα ως άνω. Για μη σταθερά είναι p(x) = ax^n+...

με $a\ne 0, \, n\ge 1$ .

Βάζοντας x=2t, y=z=-t

στη αρχική έχουμε

(a(2t)^n+... )^3 + (a(-t)^n+... )^3 + (a(-t)^n+... )^3 = 3 ( a(2t^3)^n+...)

Συγκρίνοντας τους συντελεστές του $t^{3n}$ στα δύο μέλη, παίρνουμε $a^3(8^n+2(-1)^{n}) = 3a2^n$

Όμοια για $x=3t, \, y=-2t, \, z=-t$ παίρνουμε

(a(3t)^n+... )^3 + (a(-2t)^n+... )^3 + (a(-t)^n+... )^3 = 3 ( a(6t^3)^n+...)

και άρα $a^3(27^n+(-8)^{n} +(-1)^n) = 3a6^n$

Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις που βρήκαμε, έχουμε $(27^n+(-8)^{n} +(-1)^n)2^n= (8^n+2(-1)^{n})6^n$ .

Μία λύση είναι η n=1

. Είναι μοναδική γιατί η προηγούμενη γράφεται

$6^n(9^n-8^n) = -((-8)^{n} +(-1)^n)2^n+ 2(-1)^{n})6^n$ δηλαδή

$6^n(9^{n-1}+...+8^{n-1})= -((-8)^{n} +(-1)^n)2^n+ 2(-1)^{n})6^n\le (8^{n} +1)2^n+ 2\cdot6^n$ ή

$(9^{n-1}+...+8^{n-1}-2)3^n \le 8\cdot 8^{n-1} +1$ που εύκολα βλέπουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει αν $n\ge 2$ .

Τελικά n=1

και πίσω στην $a^3(8^n+2(-1)^{n}) = 3a2^n$ παίρνουμε a^3=a

. Και λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

$\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)$

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}$ με

Εχουμε για $x,y\in \Bbb{R}$

$\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(-x-y)^3=3P(-xy(x+y))$

Κρατώντας το

σταθερό και παραγωγίζοντας ως προς

παίρνουμε

$\displaystyle 3P(x)^2P'(x)-3P(-x-y)^2P'(-x-y)=3P'(-xy(x+y))(-y^{2}-2xy)$

Θεωρώντας τώρα το

σταθερό και υποθέτοντας ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι $n\geq 1$

έχουμε ότι το αριστερό μέλος της (1) έχει ως προς

βαθμό

.

Αλλά το δεξί μέλος της (1) έχει ως προς

βαθμό

.

Αρα

δηλαδή

.

Το πολυώνυμο λοιπόν είναι σταθερό η πρώτου βαθμού.

Σημείωση.Τα παραπάνω ισχύουν για πολυώνυμα πάνω σε οποιοδήποτε σώμα χαρακτηριστικής

.

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση