Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τρί Ιούλ 03, 2018 10:48 am

Έστω ότι Ν είναι το σύνολο θετικών ακεραιων. Να βρείτε όλες τις συαρτήσεις f:N \rightarrow N που είναι ένα προς ένα και ικανοποίουν την σχέση
f(f(n)) \le \frac{n+f(n)}{2}
για κάθε n \in N



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Ιούλ 04, 2018 9:03 am

Προφανώς η ταυτοτική συνάρτηση είναι λύση. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική.

Έστω f μη ταυτοτική λύση και έστω n ο ελάχιστος αριθμός για τον οποίο f(n) \neq n. Ισχύει f(n) > n λόγω του 1-1. Η τροχιά \mathcal{O}_n του n (οι αριθμοί n, f(n), f(f(n)),...) είναι υποσύνολο του \{ n, n+1,..., f(n) \}. Πράγματι, αν k ο ελάχιστος αριθμός για τον οποίο f^{[k]}(n) > f(n) (προφανώς k > 1), τότε \displaystyle f(n) < f^{[k]}(n) \leqslant \frac{f^{[k-1]}(n) + f^{[k-2]}(n)}{2} \leqslant f(n) και έχουμε άτοπο.

Ισχύει f \left( \mathcal{O}_n \right) \subseteq \mathcal{O}_n και, αφού η f είναι 1-1 και το \mathcal{O}_n είναι πεπερασμένο, f(\mathcal{O}_n) = \mathcal{O}_n και υπάρχει u \in \mathcal{O}_n με f(u) = n. Έτσι, ισχύει \displaystyle f(n) \leqslant \frac{u + n}{2} < f(n) (άτοπο).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης