Ελάχιστη τιμή παράστασης

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ελάχιστη τιμή παράστασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pm

Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών a,b,c,d για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της

\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}


πηγή Aops



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1998
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 08, 2018 12:32 am

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pm
Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών a,b,c,d για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της

\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}


πηγή Aops
Νομίζω ότι είναι απλή. Η απάντηση είναι a=b=c=d.


Chagi
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Κυρ Ιούλ 08, 2018 11:26 am

Καλημέρα. Νομίζω το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν "σπάσουμε" κατάλληλα την παράσταση.

Έχουμε:

\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}

Παίρνω τα κλάσματα \frac{a}{b+c+d} και \frac{b+c+d}{a} τα οποία είναι αντίστροφοι όροι.

Θέτω \frac{a}{b+c+d}=x

Τότε: \frac{a}{b+c+d}+ \frac{b+c+d}{a}=x+\frac{1}{x} \geq 2 σύμφωνα με τη γνωστή ανισότητα και αφού x>0

Εύκολα βρίσκουμε ότι η ισότητα ισχύει για x=1 δηλαδή όταν a=b+c+d

Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο στα κλάσματα (\frac{b}{a+c+d},\frac{a+c+d}{b}), (\frac{c}{a+b+d},\frac{a+b+d}{c}), (\frac{d}{a+b+c},\frac{a+b+c}{d}) βρίσκουμε ότι:

a=b+c+d
b=a+c+d
c=a+b+d
d=a+b+c

Από τις δύο πρώτες σχέσεις παίρνουμε ότι a=b από τη δεύτερη και την τρίτη ότι b=c και από τις δύο τελευταίες ότι c=d

Άρα η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν a=b=c=d


takare
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 04, 2015 11:46 am

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από takare » Κυρ Ιούλ 08, 2018 1:38 pm

Τότε όμως α=d=b=c=0 ; Εξάλλου με a=d=b=c οι λόγοι δεν είναι ίσοι με την μονάδα.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιούλ 08, 2018 3:28 pm

Καλησπέρα σε όλους.


Είναι  \displaystyle \frac{a}{{b + c + d}} \cdot \frac{b}{{a + c + d}} \cdot \frac{c}{{a + b + d}} \cdot \frac{d}{{a + b + c}} \cdot \frac{{d + b + c}}{a} \cdot \frac{{a + c + d}}{b} \cdot \frac{{a + b + d}}{c} \cdot \frac{{a + b + c}}{d} = 1

Πρώτη μας σκέψη είναι να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή πρόταση:

Όταν το γινόμενο θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, τότε το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν οι μεταβλητές είναι ίσες (αν μπορούν να γίνουν ίσες).

Αν θέλετε να δώσω την απόδειξή της, αν και νομίζω ότι είναιγνωστή.

Ελέγχουμε αν μπορεί να είναι

 \displaystyle \frac{a}{{b + c + d}} = \frac{b}{{a + c + d}} = \frac{c}{{a + b + d}} = \frac{d}{{a + b + c}} =

 \displaystyle = \frac{{d + b + c}}{a} = \frac{{a + c + d}}{b} = \frac{{a + b + d}}{c} = \frac{{a + b + c}}{d} (1), για a, b, c, d > 0.

H πρώτη ισότητα γράφεται

 \displaystyle \frac{a}{{b + c + d}} = \frac{b}{{a + c + d}} \Leftrightarrow {a^2} + ac + ad = {b^2} + bc + bd \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b + c + d} \right) = 0 \Leftrightarrow a = b .

Τότε η (1) γίνεται

 \displaystyle \frac{a}{{a + c + d}} = \frac{c}{{2a + d}} = \frac{d}{{2a + c}} = \frac{{d + a + c}}{a} = \frac{{2a + d}}{c} = \frac{{2a + c}}{d} (2).

Είναι  \displaystyle \frac{c}{{2a + d}} = \frac{d}{{2a + c}} \Leftrightarrow 2ac + {c^2} = 2ad + {d^2} \Leftrightarrow 2ac + {c^2} - 2ad - {d^2} = 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2a\left( {c - d} \right) + \left( {c - d} \right)\left( {c + d} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {c - d} \right)\left( {2a + c + d} \right) = 0 \Leftrightarrow c = d .

Οπότε, η (2) γίνεται  \displaystyle \frac{a}{{a + 2c}} = \frac{c}{{2a + c}} = \frac{{a + 2c}}{a} = \frac{{2a + c}}{c} (3).

Εύκολα βρίσκουμε a = c, άρα είναι a = b = c = d.

Τότε, όμως, δεν επαληθεύεται η (1), άρα οι μεταβλητές δεν μπορούν να γίνουν ίσες για καμμία τιμή των a, b, c, d.

Θέτω το ερώτημα: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα;

Δηλαδή αν το γινόμενο θετικών παραγόντων είναι σταθερό, αλλά οι παράγοντες δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε μπορεί το άθροισμά τους να έχει ελάχιστο;

Δείτε σχετική συζήτηση (για παρόμοια περίπτωση) ΕΔΩ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1998
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 08, 2018 7:48 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Ιούλ 08, 2018 3:28 pm

Θέτω το ερώτημα: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα;

Δηλαδή αν το γινόμενο θετικών παραγόντων είναι σταθερό, αλλά οι παράγοντες δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε μπορεί το άθροισμά τους να έχει ελάχιστο;

Δείτε σχετική συζήτηση (για παρόμοια περίπτωση) ΕΔΩ.
Γεια σου Γιώργο.
Η παραπάνω ανισότητα δείχνει ότι μπορεί οι παράγοντες να μην μπορούν να γίνουν ίσοι και το άθροισμα να παίρνει ελάχιστη τιμή.
Νομίζω ότι μέχρι αύριο θα έχει γραφεί λύση.
Αν όχι θα γράψω εγώ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1998
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 09, 2018 11:39 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pm
Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών a,b,c,d για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της

\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}


πηγή Aops
Η παράσταση είναι ομογενής.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι a+b+c+d=1

Ετσι γίνεται

A=\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}+\frac{d}{1-d}+\frac{1-a}{a}+\frac{1-b}{b}+\frac{1-c}{c}+\frac{1-d}{d}

Επειδή \frac{a}{1-a}=-1+\frac{1}{1-a},\frac{1-a}{a}=\frac{1}{a}-1

παίρνουμε ότι A=-8+\sum \frac{1}{1-a}+\sum \frac{1}{a}

Αρκεί λοιπόν να ελαχιστοποιήσουμε το \sum \frac{1}{1-a}+\sum \frac{1}{a} με περιορισμό a+b+c+d=1

Αλλά η f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x},0<x<1

είναι γνήσια κυρτή.

Από Jensen έχουμε ελάχιστο όταν a=b=c=d=\frac{1}{4}

Αρα για την αρχική έχουμε ελάχιστο όταν a=b=c=d


Παρατηρήσεις.
1)Επειδή οι g(x)=\frac{1}{1-x},0<x<1 και h(x)=\frac{1}{x},0<x<1 είναι γνήσια κυρτές για

a=b=c=d ελαχιστοποιούνται οι παραστάσεις

\sum \frac{1}{1-a} και \sum \frac{1}{a}

όταν έχουμε τον περιορισμό a+b+c+d=1

2)Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε την Jensen χρησιμοποιώντας για n=4 την

x_{i}>0,(\sum_{i=1}^{n}x_{i})(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}})\geq n^{2}

με ισότητα αν και μόνο αν όλα τα x_{i} είναι ίσα.

3)Για την απόδειξη της Jensen δεν χρειάζονται παράγωγοι.

Αν για μία f:I\rightarrow \mathbb{R} με I διάστημα ισχύει

f(x_{1})+f(x_{2})\geq 2f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}),x_{1},x_{2}\in I

με ισότητα αν και μόνο αν x_{1}=x_{2}

τότε για x_{i}\in I,i=1,2,...n

είναι \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\geq nf(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n})

με ισότητα αν και μόνο αν όλα τα x_{i} είναι ίσα.

Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή Cauchy.

Η f(x_{1})+f(x_{2})\geq 2f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}),x_{1},x_{2}\in I

για συγκεκριμένη συνάρτηση μπορεί να αποδειχθεί στις περισσότερες περιπτώσεις χωρίς παραγώγους.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιούλ 10, 2018 6:08 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pm
Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών a,b,c,d για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της

\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}

πηγή Aops
Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια με τα εργαλεία που προαναφέραμε, έχοντας εκ των προτέρων "εκτιμήσει" το ελάχιστο, μετά την απάντηση του Σταύρου.

 \displaystyle S = \frac{a}{{b + c + d}} + \frac{b}{{a + c + d}} + \frac{c}{{a + b + d}} + \frac{d}{{a + b + c}} +

 \displaystyle +\frac{{b + c + d}}{a} + \frac{{a + c + d}}{b} + \frac{{a + b + d}}{c} + \frac{{a + b + c}}{d} =

 \displaystyle  = \frac{a}{{b + c + d}} + \frac{b}{{a + c + d}} + \frac{c}{{a + b + d}} + \frac{d}{{a + b + c}} + \frac{{b + c + d}}{{9a}} + \frac{{a + c + d}}{{9b}} + \frac{{a + b + d}}{{9c}} + \frac{{a + b + c}}{{9d}} +

 \displaystyle  + \frac{8}{9}\left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{d}{a} + \frac{a}{d} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c} + \frac{d}{b} + \frac{b}{d} + \frac{d}{c} + \frac{c}{d}} \right)

Ονομάζουμε το πρώτο άθροισμα S_1 και το δεύτερο S_2.

Είναι  \displaystyle \frac{a}{{b + c + d}} \cdot \frac{b}{{a + c + d}} \cdot \frac{c}{{a + b + d}} \cdot \frac{d}{{a + b + c}} \cdot \frac{{b + c + d}}{{9a}} \cdot \frac{{a + c + d}}{{9b}} \cdot \frac{{a + b + d}}{{9c}} \cdot \frac{{a + b + c}}{{9d}} = \frac{1}{{{9^4}}} , σταθερό.

Όταν το γινόμενο θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, τότε το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν οι μεταβλητές είναι ίσες (αν μπορούν να γίνουν ίσες).

Ελέγχουμε αν μπορεί να είναι  \displaystyle \frac{a}{{b + c + d}} = \frac{b}{{a + c + d}} = \frac{c}{{a + b + d}} = \frac{d}{{a + b + c}} =

 \displaystyle \frac{{b + c + d}}{{9a}} = \frac{{a + c + d}}{{9b}} = \frac{{a + b + d}}{{9c}} = \frac{{a + b + c}}{{9d}} (1)

για a, b, c, d > 0.

Είναι  \displaystyle \frac{a}{{b + c + d}} = \frac{{b + c + d}}{{9a}} \Leftrightarrow 9{a^2} = {\left( {b + c + d} \right)^2} \Leftrightarrow 3a = b + d + c (2)
Ομοίως,  \displaystyle \frac{b}{{a + c + d}} = \frac{{a + c + d}}{{9b}} \Leftrightarrow 3b = a + c + d (3)

 \displaystyle \frac{c}{{a + b + d}} = \frac{{a + b + d}}{{9c}} \Leftrightarrow 3c = a + b + d (4)

 \displaystyle \frac{d}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{9d}} \Leftrightarrow 3d = a + b + c (5)

(2) – (3) :  \displaystyle 3a - 3b = b - a \Leftrightarrow a = b

(3) – (4) :  \displaystyle 3b - 3c = c - b \Leftrightarrow b = c

(4) – (5) :  \displaystyle 3c - 3d = d - c \Leftrightarrow c = d

Οπότε η (1) ισχύει όταν a = b = c = d κι έχουμε το μικρότερο άθροισμα για το S_1, που είναι  \displaystyle {S_1} = \frac{8}{3} .

Είναι  \displaystyle {S_2} = \frac{8}{9}\left( {\left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right) + \left( {\frac{d}{a} + \frac{a}{d}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right) + \left( {\frac{d}{b} + \frac{b}{d}} \right) + \left( {\frac{d}{c} + \frac{c}{d}} \right)} \right) \ge  \frac{{32}}{3} ,

με το ίσον να ισχύει επίσης όταν a = b = c = d , οπότε τότε θα έχουμε και το ελάχιστο άθροισμα  \displaystyle S = \frac{{40}}{3} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης