Ελάχιστη τιμή παράστασης
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Ελάχιστη τιμή παράστασης
Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της
πηγή Aops
πηγή Aops
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pmNα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της
πηγή Aops
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Καλημέρα. Νομίζω το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν "σπάσουμε" κατάλληλα την παράσταση.
Έχουμε:
Παίρνω τα κλάσματα και τα οποία είναι αντίστροφοι όροι.
Θέτω
Τότε: σύμφωνα με τη γνωστή ανισότητα και αφού
Εύκολα βρίσκουμε ότι η ισότητα ισχύει για δηλαδή όταν
Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο στα κλάσματα , , βρίσκουμε ότι:
Από τις δύο πρώτες σχέσεις παίρνουμε ότι από τη δεύτερη και την τρίτη ότι και από τις δύο τελευταίες ότι
Άρα η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν
Έχουμε:
Παίρνω τα κλάσματα και τα οποία είναι αντίστροφοι όροι.
Θέτω
Τότε: σύμφωνα με τη γνωστή ανισότητα και αφού
Εύκολα βρίσκουμε ότι η ισότητα ισχύει για δηλαδή όταν
Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο στα κλάσματα , , βρίσκουμε ότι:
Από τις δύο πρώτες σχέσεις παίρνουμε ότι από τη δεύτερη και την τρίτη ότι και από τις δύο τελευταίες ότι
Άρα η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Καλησπέρα σε όλους.
Είναι
Πρώτη μας σκέψη είναι να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή πρόταση:
Όταν το γινόμενο θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, τότε το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν οι μεταβλητές είναι ίσες (αν μπορούν να γίνουν ίσες).
Αν θέλετε να δώσω την απόδειξή της, αν και νομίζω ότι είναιγνωστή.
Ελέγχουμε αν μπορεί να είναι
(1), για .
H πρώτη ισότητα γράφεται
.
Τότε η (1) γίνεται
(2).
Είναι
.
Οπότε, η (2) γίνεται (3).
Εύκολα βρίσκουμε , άρα είναι .
Τότε, όμως, δεν επαληθεύεται η (1), άρα οι μεταβλητές δεν μπορούν να γίνουν ίσες για καμμία τιμή των .
Θέτω το ερώτημα: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα;
Δηλαδή αν το γινόμενο θετικών παραγόντων είναι σταθερό, αλλά οι παράγοντες δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε μπορεί το άθροισμά τους να έχει ελάχιστο;
Δείτε σχετική συζήτηση (για παρόμοια περίπτωση) ΕΔΩ.
Είναι
Πρώτη μας σκέψη είναι να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή πρόταση:
Όταν το γινόμενο θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, τότε το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν οι μεταβλητές είναι ίσες (αν μπορούν να γίνουν ίσες).
Αν θέλετε να δώσω την απόδειξή της, αν και νομίζω ότι είναιγνωστή.
Ελέγχουμε αν μπορεί να είναι
(1), για .
H πρώτη ισότητα γράφεται
.
Τότε η (1) γίνεται
(2).
Είναι
.
Οπότε, η (2) γίνεται (3).
Εύκολα βρίσκουμε , άρα είναι .
Τότε, όμως, δεν επαληθεύεται η (1), άρα οι μεταβλητές δεν μπορούν να γίνουν ίσες για καμμία τιμή των .
Θέτω το ερώτημα: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα;
Δηλαδή αν το γινόμενο θετικών παραγόντων είναι σταθερό, αλλά οι παράγοντες δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε μπορεί το άθροισμά τους να έχει ελάχιστο;
Δείτε σχετική συζήτηση (για παρόμοια περίπτωση) ΕΔΩ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Γεια σου Γιώργο.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 08, 2018 3:28 pm
Θέτω το ερώτημα: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα;
Δηλαδή αν το γινόμενο θετικών παραγόντων είναι σταθερό, αλλά οι παράγοντες δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε μπορεί το άθροισμά τους να έχει ελάχιστο;
Δείτε σχετική συζήτηση (για παρόμοια περίπτωση) ΕΔΩ.
Η παραπάνω ανισότητα δείχνει ότι μπορεί οι παράγοντες να μην μπορούν να γίνουν ίσοι και το άθροισμα να παίρνει ελάχιστη τιμή.
Νομίζω ότι μέχρι αύριο θα έχει γραφεί λύση.
Αν όχι θα γράψω εγώ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Η παράσταση είναι ομογενής.Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pmNα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της
πηγή Aops
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Ετσι γίνεται
Επειδή
παίρνουμε ότι
Αρκεί λοιπόν να ελαχιστοποιήσουμε το με περιορισμό
Αλλά η
είναι γνήσια κυρτή.
Από Jensen έχουμε ελάχιστο όταν
Αρα για την αρχική έχουμε ελάχιστο όταν
Παρατηρήσεις.
1)Επειδή οι και είναι γνήσια κυρτές για
ελαχιστοποιούνται οι παραστάσεις
και
όταν έχουμε τον περιορισμό
2)Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε την Jensen χρησιμοποιώντας για την
με ισότητα αν και μόνο αν όλα τα είναι ίσα.
3)Για την απόδειξη της Jensen δεν χρειάζονται παράγωγοι.
Αν για μία με διάστημα ισχύει
με ισότητα αν και μόνο αν
τότε για
είναι
με ισότητα αν και μόνο αν όλα τα είναι ίσα.
Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή Cauchy.
Η
για συγκεκριμένη συνάρτηση μπορεί να αποδειχθεί στις περισσότερες περιπτώσεις χωρίς παραγώγους.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια με τα εργαλεία που προαναφέραμε, έχοντας εκ των προτέρων "εκτιμήσει" το ελάχιστο, μετά την απάντηση του Σταύρου.Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pmNα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της
πηγή Aops
Ονομάζουμε το πρώτο άθροισμα και το δεύτερο .
Είναι , σταθερό.
Όταν το γινόμενο θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, τότε το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν οι μεταβλητές είναι ίσες (αν μπορούν να γίνουν ίσες).
Ελέγχουμε αν μπορεί να είναι
(1)
για .
Είναι (2)
Ομοίως, (3)
(4)
(5)
(2) – (3) :
(3) – (4) :
(4) – (5) :
Οπότε η (1) ισχύει όταν κι έχουμε το μικρότερο άθροισμα για το , που είναι .
Είναι ,
με το ίσον να ισχύει επίσης όταν , οπότε τότε θα έχουμε και το ελάχιστο άθροισμα .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες