Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 03, 2018 10:28 pm

Αν A,B,C γωνίες οξυγωνίου τριγώνου ABC, \tau η ημιπερίμετρος του τριγώνου, και r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι :

\tan^3A \tan B+\tan ^3B \tan C+\tan^3 C \tan A \geqslant (\dfrac{2\tau r}{\tau^2-25r^2})^2.


Υ.Γ. Την άσκηση την αφιερώνω στον Διονύση!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Αύγ 03, 2018 11:46 pm

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{\sum \frac{\tan ^2 A}{\tan C}\geq \left( \frac{2E}{s^2-25r^2}\right)^2 \cot A\cot B\cot C}.

Από Cauchy-Schwarz αριστερά, είναι αρκετό να δείξουμε ότι

\displaystyle{\sum \tan A\geq \left( \frac{2E}{s^2-25r^2}\right)^2 \cot A\cot B\cot C}

δηλαδή

\displaystyle{\tan A\tan B\tan C\geq \left( \frac{2E}{s^2-25r^2}\right)^2 \cot A\cot B\cot C.}

Αυτή γράφεται ως

\displaystyle{\tan A\tan B\tan C\geq  \frac{2E}{s^2-25r^2}}.

Είναι \displaystyle{\prod \sin A=\frac{E}{2R^2}} και \displaystyle{\prod \cos A=\frac{s^2-(2R+r)^2}{4R^2},}

οπότε η προηγούμενη ανάγεται στην γνωστή \displaystyle{R\geq 2r.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης