Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

γωνίες οξυγωνίου τριγώνου ABC

, $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου, και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι :

$\tan^3A \tan B+\tan ^3B \tan C+\tan^3 C \tan A \geqslant (\dfrac{2\tau r}{\tau^2-25r^2})^2$ .

Υ.Γ. Την άσκηση την αφιερώνω στον Διονύση!

#2

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum \frac{\tan ^2 A}{\tan C}\geq \left( \frac{2E}{s^2-25r^2}\right)^2 \cot A\cot B\cot C}$ .

Από Cauchy-Schwarz αριστερά, είναι αρκετό να δείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum \tan A\geq \left( \frac{2E}{s^2-25r^2}\right)^2 \cot A\cot B\cot C}$

δηλαδή

$\displaystyle{\tan A\tan B\tan C\geq \left( \frac{2E}{s^2-25r^2}\right)^2 \cot A\cot B\cot C.}$

Αυτή γράφεται ως

$\displaystyle{\tan A\tan B\tan C\geq \frac{2E}{s^2-25r^2}}$ .

Είναι $\displaystyle{\prod \sin A=\frac{E}{2R^2}}$ και $\displaystyle{\prod \cos A=\frac{s^2-(2R+r)^2}{4R^2},}$

οπότε η προηγούμενη ανάγεται στην γνωστή $\displaystyle{R\geq 2r.}$

Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

Re: Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

Μέλη σε σύνδεση