Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τετ Σεπ 05, 2018 9:06 pm

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f: \mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0} που ικανοποιούν την εξίσωση
f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y)για κάθε x,y \in \mathbb{R}^{\ge 0}



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Σεπ 06, 2018 12:15 pm

Αν βάλω όπου y\rightarrow 1/x,αγνοώντας την περίπτωση x=0 προκύπτει:f(x^3+xf(1))=f(1)+x^2f(x+1/x)\forall x\epsilon \mathbb{R}+
.Παρατηρώ ότι μπορώ εξαναγκάσω x^3+xf(1)=1 (υπάρχει θετική πραγματική λύση).Επομένως,αν αυτή η λύση είναι η u,θα είναι:u^2f(u+1/u)=0,δηλαδή υπάρχει w\neq0 
,f(w)=0.Αν θέσω για λίγο y\rightarrow y/x στην αρχική,θα έχω f(x^3+xf(y))=f(y)+x^2f(x+y/x)\forall y\epsilon \mathbb{R}^{\geq 0},x\epsilon \mathbb{R}+.Βλέπω ότι για κάθε συγκεκριμένο y η εξίσωση x^3+xf(y)=w έχει λύση για το x,έστω t.Αν βάλω στην πάνω x\rightarrow t θα έχω 0=f(w)=f(y)+t^2f(t+y/t) άρα f(y)=0 για κάθε συγκεκριμένο y που ανήκει στους πραγματικούς \geq 0 και άρα αυτή είναι και η μοναδική λύση(επειδή επαληθεύει κι'όλας)...(Ελπίζω να μην έχω κάνει πατάτα...)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης