Σελίδα 1 από 1

Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 01, 2019 1:35 pm
από Xriiiiistos
x,y,z> 0 και x+y+z=4 δείξτε ότι

(y+1)^{y}+\frac{(x+1)^{(x+2)^{x+1}}}{x}+\frac{z^{2}}{z+1}> \frac{17}{3}+x

το x+2 είναι υψωμένο στο x+1

Re: Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 01, 2019 5:48 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Από Bernoulli έχουμε ότι:

{(x+1)^{(x+2)}}^{(x+1)}\geq x\cdot (x+2)^{(x+1)}+1\geq x((x+1)^2+1)+1

Άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι:

(y+1)^y+(x+1)^2+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{z^2}{z+1}>\dfrac{17}{3}+x\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+2+x+\dfrac{1}{x}+z-1+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}

\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+1+x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}+y\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}+y

\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}>y+\dfrac{2}{3}.

Είναι από Andreescu: \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}\geq \dfrac{4}{x+z+1}=\dfrac{4}{5-y}>\dfrac{4}{5}

Άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι x^2+(y+1)^y+\dfrac{4}{5}>y+\dfrac{2}{3} ή (y+1)^y>y\Leftrightarrow (y+1)^{(y+1)}>y(y+1)

Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά Bernoulli και έχουμε (y+1)^{(y+1)}>(y+1)^2+1>y(y+1).