Σύστημα με μοναδική λύση!

#1

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ , ώστε το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}$

να έχει μοναδική λύση στο $\displaystyle{\mathbb{C}^3}$ την $\displaystyle{(1,1,1).}$

#2

matha έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ , ώστε το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}$

να έχει μοναδική λύση στο $\displaystyle{\mathbb{C}^3}$ την $\displaystyle{(1,1,1).}$

Απάντηση:

.

Επειδή η πληκτρολόγιση της γενικής περίπτωσης είναι επίπονη, κάνω συγκεκριμένη (αλλά εύκολα επεκτάσιμη) περίπτωση που όμως δείχνει την κατάσταση.

Για ευκολία γράφουμε x=1+X, y=1+Y, z=1+Z

, οπότε έχουμε μοναδικότητα ή μη ανάλογα αν X=Y=Z=0

ή όχι.

Εύκολα βλέπουμε ότι οι δύο πρώτες εξισώσεις γίνονται X+Y+Z=0, X^2+Y^2+Z^2=0

. Λύνοντας βρίσκουμε Y=wX, Z=w^2X

ή ανάποδα, όπου

μιγαδική ρίζα της μονάδας. Παρακάτω θα γίνει χρήση της 1+w+w^2=0

.

Ως προς την τρίτη εξίσωση έχουμε.

α) Οι περιπτώσεις n=1, n=2

είναι άμεσες, και τις αφήνω.

β) Για n=3

. H τρίτη εξίσωση δίνει (1+X)^3+(1+wX)^2+(1+w^2X)=3

, ισοδύναμα

3+3(1+w+w^2)X+ 3(1+w^2+w^4)X^2+(1+w^3+w^6)X^3=3

ή αλλιώς

. Άρα

, από όπου X=Y=Z=0

(μοναδική λύση).

γ) Για n=4,n=5

. Ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα και θα βρούμε ότι η τρίτη εξίσωση δίνει, αντίστοιχα, 12X^3=0

ή

(οι συντελεστές των X^4, X^5

είναι μηδέν). Πάλι μοναδική λύση.

δ) Για $n\ge 6$ (το κάνω για n=6

). Σε αυτή την περίπτωση όλοι οι συντελεστές των X^k

είναι

πλην των

. Συγκεκριμένα θα βρούμε
60X^3+3X^6=0

. Επειδή η εξίσωση αυτή έχει μη-μηδενική λύση, ας την πούμε X_0

, βρίσκουμε μη μηδενική λύση (X,Y,Z)=(X_0, wX_0, w^2X_0)

του αρχικού συστήματος. Άρα έχουμε μη μοναδική λύση.

Οι περιπτώσεις n>6

γίνονται όμοια: Από το ανάπτυγμα του δυωνύμου η τρίτη εξίσωση έχει όλους τους συντελεστές των X^k

ίσους με

εκτός από τους κ=3,6,...

που είναι θετικοί. Η εξίσωση που προκύπτει έχει μη μηδενική λύση στο $\mathbb C$ , από όπου η μη μοναδικότητα της λύσης του αρχικού συστήματος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

matha έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ , ώστε το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}$

να έχει μοναδική λύση στο $\displaystyle{\mathbb{C}^3}$ την $\displaystyle{(1,1,1).}$

Θα περιγράψω μια άλλη λύση.

Εύκολα βλέπουμε ότι τα x,y,z

είναι ρίζες της εξίσωσης

$t^{3}-3t^{2}+3t-k=0$

Επίσης αν

$S_{n}(k)=x^n+y^n+z^n$

τότε
$S_{n+3}(k)=3(S_{n+2}(k)-S_{n+1}(k))+kS_{n}(k)$ (1)

Στα παρακάτω αντί

θα βάζω

.

Εύκολα υπολογίζουμε ότι $S_{3}(x)=3x,S_{4}(x)=12x-9,S_{5}(x)=30x-27$

Θα δείξουμε επαγωγικά ότι

$S_{3n}(x)=a_{3n}x^{n}+r_{3n}(x)$

$S_{3n+1}(x)=a_{3n+1}x^{n}+r_{3n+1}(x)$

$S_{3n+2}(x)=a_{3n+2}x^{n}+r_{3n+2}(x)$

οπου
$0<a_{3n}<a_{3n+1}<a_{3n+2}$
και τα

$r_{3n}(x),r_{3n+1}(x),r_{3n+2}(x)$

πολυώνυμα βαθμού το πολύ n-1

.

Χρησιμοποιώντας την (1) βρίσκουμε

$a_{3(n+1)}=a_{3n},a_{3(n+1)+1}=3a_{3n}+a_{3n+1},a_{3(n+1)+2}=6a_{3n}+3a_{3n+1}+a_{3n+2}$

και τα πολυώνυμα βαθμού το πολύ

.

Ετσι για n>5

το

δηλαδή το

παίρνει τιμές που είναι διαφορετικές του

για να είμαστε εντάξει πρέπει να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις που προκύπτουν
δεν εχουν μοναδική ρίζα το

Ετσι το σύστημα δεν έχει μοναδική ρίζα

Σύστημα με μοναδική λύση!

Σύστημα με μοναδική λύση!

Re: Σύστημα με μοναδική λύση!

Re: Σύστημα με μοναδική λύση!

Μέλη σε σύνδεση