Περίεργη Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Re: Περίεργη Ανισότητα
Μένουν να ελεγχθούν τα τα (το ισχύει αλλά tο αφήνω για τον reader μιας και η ερώτηση επρόκειτο για γενίκευση ) Για σίγουρα δεν ισχύει, αφού μπορούμε να εξασφαλίσουμε ( μιας και ) για με σε finite διάστημα, και .
Bye :')
Re: Περίεργη Ανισότητα
(Περιλαμβάνω το στις πιθανές τιμές των όρων χωρίς βλάβη, λόγω συνέχειας).ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 17, 2019 2:05 amΈστω οι θετικοί πραγματικοί με .
Να εξετάσετε αν ισχύει η:
Το μέρος της παράστασης που περιέχει τους όρους γράφεται ως , οπότε, για να έχουμε ελαχιστοποίηση, πρέπει, ανάλογα με το γινόμενο των υπόλοιπων όρων, τα να είναι ίσα (αν το γινόμενο είναι μικρότερο του ) ή το ένα τουλάχιστον πρέπει να είναι αν το γινόμενο είναι μεγαλύτερο του .
Έτσι, βλέπουμε εύκολα ότι η συνολική παράσταση ελαχιστοποιείται αν
1. Όλοι οι όροι είναι ίσοι ή
2. Ένας είναι και οι υπόλοιποι ίσοι.
Στην πρώτη περίπτωση η παράσταση γίνεται από ΑΜ-ΓΜ και η ανισότητα ισχύει πάντα.
Στη δεύτερη περίπτωση η παράσταση γίνεται . Το τριώνυμο έχει ελάχιστη τιμή (για ), οπότε για η ανισότητα δεν ισχύει πάντα (π.χ. ), ενώ για ισχύει.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες