Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 01, 2019 1:36 am

Εστω x,y,z> 0

ώστε

\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}=1

Να δειχθεί ότι

\dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq \dfrac{1}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Σεπ 01, 2019 2:11 am

Μια γρήγορη λύση. Από C-S
\dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}\geq\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}}{2}= \dfrac{1}{2}


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 01, 2019 3:21 am

silouan έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 2:11 am
Μια γρήγορη λύση. Από C-S
\dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}\geq\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}}{2}= \dfrac{1}{2}
Σιλουανέ αυτό λέγεται ξεφτιλισμός των Ρουμάνων.

Η ανισότητα είναι από διαγωνισμό της Ρουμανίας.(ας είναι καλά ο Μπάμπης)
Αν δεις την λύση που δίνουν τότε θα συμφωνήσεις με το παραπάνω σχόλιο.
Τα άλλα δεν τα γράφω εννοούνται.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8242
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Σεπ 01, 2019 11:27 am

Διαφορετικά:

\displaystyle  \begin{aligned}\frac{x^2}{x+y} + \frac{y^2}{y+z} + \frac{z^2}{z+x} &= \left(x - \frac{xy}{x+y} \right) + \left(y - \frac{yz}{y+z} \right) + \left(z - \frac{zx}{z+x} \right) \\ 
&=(x+y+z) - \left(\frac{xy}{x+y} + \frac{yz}{y+z} + \frac{zx}{z+x} \right) \\ 
&\geqslant (x+y+z) - \left( \frac{\sqrt{xy}}{2} + \frac{\sqrt{yz}}{2} + \frac{\sqrt{zx}}{2} \right)\\ 
&\geqslant \frac{1}{2}\left(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} \right) = \frac{1}{2} 
\end{aligned}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με συνθήκη που έχει ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 01, 2019 2:02 pm

Γράφω την λύση των Ρουμάνων.

x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}-x^{2}}{z+x}=0

\Rightarrow \frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{y^{2}}{x+y}+\frac{z^{2}}{y+z}+\frac{x^{2}}{z+x}\Rightarrow \frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{1}{2}(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x})(1)

παίρνοντας την
\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}

και τις κυκλικές της η τελευταία παράσταση στην (1) δεν ξεπερνά
το
\frac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})=\frac{1}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης