Συναρτησιακή ανίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 721
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Συναρτησιακή ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Οκτ 13, 2019 1:06 am

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty) οι οποίες επαληθεύουν την

f(x+\sqrt{x})\leq x\leq f(x)+\sqrt{f(x)}
για κάθε πραγματικό x>0.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 13, 2019 8:16 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:06 am
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty) οι οποίες επαληθεύουν την

f(x+\sqrt{x})\leq x\leq f(x)+\sqrt{f(x)}
για κάθε πραγματικό x>0.
Καλή Κυριακή σε όλους.
Δεν ξέρω αν είμαι εντός φακέλου. Θα έπρεπε όμως.
Θα δείξω το γενικότερο.

Αν g:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )
είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με
g((0,\infty ))=(0,\infty )
και
f:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )
συνάρτηση με
f(g(x))\leq x\leq g(f(x)),x>0
τότε
f=g^{-1}

Απόδειξη.
Από τα δεδομένα προκύπτει ότι υπάρχει η αντίστροφη της g είναι γνησίως αύξουσα
g^{-1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )
και
g^{-1}((0,\infty ))=(0,\infty )

Από την  x\leq g(f(x))
παίρνουμε
g^{-1}(x)\leq f(x)(1)

Από την f(g(x))\leq x
για g^{-1}(x)στην θέση του x

f(x)\leq g^{-1}(x)(2)

Από (1),(2) είναι f(x)=g^{-1}(x)

Στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι

g(x)=x+\sqrt{x}

g^{-1}(x)=(\frac{-1+\sqrt{1+4x}}{2})^{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης