Μια ανισότητα

Xriiiiistos · #1

Γεια τους θετικούς x,y,z

δείξτε ότι

$11\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 6(2\sum x-\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1})^{3}+(\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}})^{6}$

Τα $\sum$ :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Xriiiiistos · #2

Tην είχα φτιάξει στο σχολείο κάποια στιγμή που βαριόμουν.

Καταρχήν έχουμε $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq \sum \dfrac{27x^{6}}{ (y+z+1)^{3}}$

$=(\sqrt[3]{\sum \dfrac{x^{6}}{(y+z+1)^{3}}(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})\cdot 3^{4}})^{3}27$

$\overset{ HOLDER}{\geq } 3^{4}\cdot 27\cdot ((\dfrac{1}{3})^{2}\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3}=3(\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3}$

δηλαδή $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 3(\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3}$ (1)

$3(\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3} \geq 3 \dfrac{1}{3^{3}} ( \sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}} )^{6}= \dfrac{1}{9} ( \sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}} )^{6}$ χρεισιμοποιήθηκε η Andreescu

Oι δύο τελευταίες δίνουν $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq \dfrac{1}{9}( \sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}} )^{6}$ (2)

$\sum \dfrac{x^{2}}{y+z+1} = \sum (\dfrac{(2x+1)^{2}}{y+z+1}-\dfrac{4x+1+3x^{2}}{y+z+1})$

$\overset{ANDREESCU}{\geq } 2\sum x+3-\sum \dfrac{4x+1+3x^{2}}{y+z+1}=2\sum x+\sum\dfrac{y+z-4x-3x^{2}}{y+z+1}$

Αυτή και η 1 δίνουν $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq (2\sum x+\sum\dfrac{y+z-4x-3x^{2}}{y+z+1})^{3}$ (3)

πολλαπλασιάζοντας επί 9 την (2) και επί 2 την (3) και προσθέτωντάς τες δείχνουμε $LHS\geq RHS$ δηλαδή το ζητούμενο.
Iσότητα όταν x=y=z=1

.

Μια ανισότητα

Μια ανισότητα

Re: Μια ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση