Σελίδα 1 από 1

Μια ανισότητα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 30, 2019 4:06 pm
από Xriiiiistos
Γεια τους θετικούς x,y,z δείξτε ότι

11\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 6(2\sum x-\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1})^{3}+(\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}})^{6}


Τα \sum :
\sum \dfrac{x^{6}}{yz}=\dfrac{x^{6}}{yz}+\dfrac{y^{6}}{zx}+\dfrac{z^{6}}{xy}

\sum x=x+y+z

\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1}=\dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1}+\dfrac{3y^{2}+4y-z-x}{z+x+1}+\dfrac{3z^{2}+4z-x-y}{x+y+1}

\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{z+x+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{x+y+1}}

Re: Μια ανισότητα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 01, 2020 5:38 pm
από Xriiiiistos
Tην είχα φτιάξει στο σχολείο κάποια στιγμή που βαριόμουν.

Καταρχήν έχουμε \sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq \sum \dfrac{27x^{6}}{ (y+z+1)^{3}}

=(\sqrt[3]{\sum \dfrac{x^{6}}{(y+z+1)^{3}}(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})\cdot 3^{4}})^{3}27

\overset{ HOLDER}{\geq } 3^{4}\cdot 27\cdot ((\dfrac{1}{3})^{2}\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3}=3(\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3}

δηλαδή \sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 3(\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3} (1)

3(\sum \dfrac{x^{2}}{z+y+1})^{3} \geq 3 \dfrac{1}{3^{3}} ( \sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}} )^{6}= \dfrac{1}{9} ( \sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}} )^{6} χρεισιμοποιήθηκε η Andreescu

Oι δύο τελευταίες δίνουν \sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq \dfrac{1}{9}( \sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}} )^{6} (2)

\sum \dfrac{x^{2}}{y+z+1} = \sum (\dfrac{(2x+1)^{2}}{y+z+1}-\dfrac{4x+1+3x^{2}}{y+z+1})

\overset{ANDREESCU}{\geq } 2\sum x+3-\sum \dfrac{4x+1+3x^{2}}{y+z+1}=2\sum x+\sum\dfrac{y+z-4x-3x^{2}}{y+z+1}

Αυτή και η 1 δίνουν \sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq (2\sum x+\sum\dfrac{y+z-4x-3x^{2}}{y+z+1})^{3} (3)

πολλαπλασιάζοντας επί 9 την (2) και επί 2 την (3) και προσθέτωντάς τες δείχνουμε LHS\geq RHS δηλαδή το ζητούμενο.
Iσότητα όταν x=y=z=1 .