Ανισότητα σε τρίγωνο

#1

Έστω

,

και

τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, $\tau$ η ημιπερίμετρός του,

η ακτίνα του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου και

το εμβαδόν του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle\sum\limits_{cyc}\frac{(\tau-a)^4}{c(\tau-b)}\geqslant\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{R^2S^2}{4}}$ και να βρεθεί πότε ισχύει η ισότητα.

Σημείωση: Κατά πάσα πιθανότητα η εκφώνηση είναι σωστή αν και δεν έχω τρόπο να το επιβεβαιώσω, μιας και δεν έχω λύση της.

#2

Σωστή είναι Γρηγόρη.

Χρησιμοποιούμε τη γνωστή αντικατάσταση a=x+y,b=y+z,c=z+x

όπου

. Τότε $\tau = x+y+z$ και $SR = \frac{abc}{4}$ οπότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

$\displaystyle \sum_{z^4}^{y(z+x)} \geqslant \frac{3}{8} [(x+y)(y+z)(z+x)]^{2/3}$

Και εδώ αλλά και πιο κάτω όλα τα αθροίσματα είναι κυκλικά.

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε $(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι

$\displaystyle \sum_{z^4}^{y(z+x)} \geqslant \frac{(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}{8} = \frac{1}{4} \sum x^2 + \frac{1}{4} \sum xy$

Από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle \sum \frac{z^4}{y(z+x)} \geqslant \frac{\left(\sum z^2\right)^2}{\sum y(z+x)} = \frac{\left(\sum x^2\right)^2}{2\sum xy} \geqslant \frac{1}{2} \sum x^2$

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι $\displaystyle 2\sum x^2 \geqslant \sum x^2 + \sum xy$ το οποίο είναι γνωστό και το χρησιμοποιήσαμε ήδη και στην προηγούμενη ανισότητα.

Επεξεργασία: Αμέλησα να ελέγξω την περίπτωση της ισότητας. Όλες οι ανισότητες που χρησιμοποιήσαμε ισχύουν όταν x=y=z

και τουλάχιστον μία, π.χ. η $\displaystyle \sum x^2 \geqslant \sum xy$ , ισχύει μόνο όταν x=y=z

. Άρα για την ισότητα πρέπει x=y=z

που δίνει

, δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση