Ελάχιστο διαφορών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3369
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ελάχιστο διαφορών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 17, 2020 11:57 pm

Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί

a_1,a_2,.....a_n , n>2 ώστε

\displaystyle  \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1

Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο από αυτούς που η απόσταση τους δεν ξεπερνάει

το \displaystyle  \sqrt{\frac{12}{n(n-1)(n+1)}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8643
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστο διαφορών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Σεπ 18, 2020 1:10 pm

Ας παρατηρήσουμε ότι

\displaystyle  \sum_{i < j} (a_j - a_i)^2 = (n-1)(a_1^2 + \cdots + a_n^2) - 2 \sum_{i < j}^{a_ia_j} = n(a_1^2 + \cdots + a_n^2) - (a_1 + \cdots + a_n)^2 \leqslant n

Έστω τώρα προς άτοπο ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι a_1 < a_2 < \cdots < a_n οπότε για i < j θα έχουμε \displaystyle  (a_j - a_i)^2 > \frac{12(j-i)^2}{(n-1)n(n+1)}. Επειδή για κάθε 1 \leqslant k \leqslant n υπάρχουν ακριβώς (n-k) ζεύγη (i,j) με j-i = k (και i,j \in \{1,2,\ldots,n\}) τότε θα έχουμε και

\displaystyle  \begin{aligned} 
\sum_{i < j} (a_j - a_i)^2 &> \frac{12}{(n-1)n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} k^2(n-k) \\ 
&= \frac{12}{(n-1)n(n+1)}  \left[ \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}\right] \\ 
&= \frac{n}{n-1}[(4n+2) - (3n+3)] = n. 
\end{aligned}

Αυτό όμως είναι άτοπο.

Δεν ξέρω κατά πόσο η άσκηση ήταν εμπνευσμένη από αυτό.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3369
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστο διαφορών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 18, 2020 6:11 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Σεπ 18, 2020 1:10 pm

Δεν ξέρω κατά πόσο η άσκηση ήταν εμπνευσμένη από αυτό.
Οχι Δημήτρη δεν προήλθε από το παραπάνω.
Πριν καιρό στο facebook ο Α.Κυριακόπουλος είχε βάλει την ίδια άσκηση με 3 η 4 αριθμούς (δεν θυμάμαι ακριβώς).
Απλά την είχα γενικεύσει και τώρα που είδα το χαρτί την έβαλα.
Η απόδειξη σου μπορεί να γίνει χωρίς ΑΤΟΠΟ.
Απλά θέτεις
a=min\left \{ |a_{i}-a_{i+1}|: i=1,2,..n-1 \right \}
(αφου τα έχεις διατάξει)
και κάνεις αυτά που έκανες


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης