Ελάχιστο διαφορών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί

a_1,a_2,.....a_n

,

ώστε

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1$

Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο από αυτούς που η απόσταση τους δεν ξεπερνάει

το $\displaystyle \sqrt{\frac{12}{n(n-1)(n+1)}}$

#2

Ας παρατηρήσουμε ότι

$\displaystyle \sum_{i < j} (a_j - a_i)^2 = (n-1)(a_1^2 + \cdots + a_n^2) - 2 \sum_{i < j}^{a_ia_j} = n(a_1^2 + \cdots + a_n^2) - (a_1 + \cdots + a_n)^2 \leqslant n$

Έστω τώρα προς άτοπο ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ οπότε για i < j

θα έχουμε $\displaystyle (a_j - a_i)^2 > \frac{12(j-i)^2}{(n-1)n(n+1)}.$ Επειδή για κάθε $1 \leqslant k \leqslant n$ υπάρχουν ακριβώς (n-k)

ζεύγη

με

(και $i,j \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) τότε θα έχουμε και

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i < j} (a_j - a_i)^2 &> \frac{12}{(n-1)n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} k^2(n-k) \\ &= \frac{12}{(n-1)n(n+1)} \left[ \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}\right] \\ &= \frac{n}{n-1}[(4n+2) - (3n+3)] = n. \end{aligned}$

Αυτό όμως είναι άτοπο.

Δεν ξέρω κατά πόσο η άσκηση ήταν εμπνευσμένη από αυτό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 18, 2020 1:10 pm

Δεν ξέρω κατά πόσο η άσκηση ήταν εμπνευσμένη από αυτό.

Οχι Δημήτρη δεν προήλθε από το παραπάνω.
Πριν καιρό στο facebook ο Α.Κυριακόπουλος είχε βάλει την ίδια άσκηση με 3 η 4 αριθμούς (δεν θυμάμαι ακριβώς).
Απλά την είχα γενικεύσει και τώρα που είδα το χαρτί την έβαλα.
Η απόδειξη σου μπορεί να γίνει χωρίς ΑΤΟΠΟ.
Απλά θέτεις
$a=min\left \{ |a_{i}-a_{i+1}|: i=1,2,..n-1 \right \}$
(αφου τα έχεις διατάξει)
και κάνεις αυτά που έκανες

Ελάχιστο διαφορών

Ελάχιστο διαφορών

Re: Ελάχιστο διαφορών

Re: Ελάχιστο διαφορών

Μέλη σε σύνδεση