Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left(f(x)+y\right)^2=f\left(x^2\right)+yf(2x+y),}$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

#2

Επαναφορά!

Belias · #3

Προφανώς η μηδενική δουλεύει, έστω υπάρχει $c \in \mathbb R$ ώστε $f(c) \neq 0$
P(x,y)

ο ισχυρισμός f(f(x)+y)^2=f(x^2)+yf(2x+y)

Ισχυρισμός: If f(a) = f(b)

για κάποια a < b

, τότε

για κάθε $x \neq 2a$ .
Απόδειξη: Από P(a,0)

και

, έχουμε

.

και

δίνει

για κάθε $y \neq 0$ .
Άρα για κάθε $x \neq 2a$ , έχουμε f(x) = f(x + (2b - 2a))

.
Ισχυρισμός: Η

είναι 1-1
Απόδειξη: Έστω f(a) = f(b)

για κάποια a < b

, έχουμε

για κάθε $x \neq 2a$ , όπου d = 2b - 2a

. Αλλά για κάθε $t\neq 2a$ , χρησιμοποιούμε τον πρώτο ισχυρισμό ( f(t) = f(t+d)

) και βλέπουμε f(x) = f(x + 2d)

για κάθε $x \neq 2t$ . Άρα f(x) = f(x + 2d)

πάντα.

μαζί με

δίνουν

, άρα

δηλαδή η

σταθερή στο

, άτοπο.
$P(1,-1) \implies$ υπάρχει

με

(μοναδικό).
P(x,0): f(f(x))^2 = f(x^2)

, άρα για κάθε $x \geq 0$ , έχουμε $f(x) \geq 0$ , άρα $f(f(x)) \geq 0$ κατ'επέκταση.
Περιπτώσεις για το

:
1) $c \neq 0$ .
$f(0) \geq 0$ , με $f(0) \neq 0$ , άρα f(0) > 0

.

.
Αν

, τότε

, , άρα

, άτοπο. Έτσι f(f(-c)) = -f(0) < 0

, που σημαίνει c > 0

. Θέτουμε

.

δίνει

, άρα

.

.
Θέτοντας y = c - 2a

δίνει

, άρα

, που σημαίνει c = 2a

. Έτσι

. Όμως $a \neq 0$ και έπεται a = 2

και

.

δίνει

, άρα

.
Βάζοντας όπου

το

δίνει

, που είναι άτοπο γιατί f(0) > 0

.
2)

.

, άρα για κάθε

είτε

. Όμως η

είναι 1-1 στο

άρα η

είναι η ταυτοτική για κάθε

που δουλεύει.
Συνοψίζοντας, $f(x)=0 \: \forall \: x \in \mathbb R$ ή $f(x)=x \: \forall \: x \in \mathbb R$ οι λύσεις.

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση