Διπλή ανισωση στους φυσικούς με παράμετρο
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Διπλή ανισωση στους φυσικούς με παράμετρο
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα των ανισώσεων
έχει άπειρες λύσεις στοτς φυσκούς αριθμούς .
έχει άπειρες λύσεις στοτς φυσκούς αριθμούς .
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διπλή ανισωση στους φυσικούς με παράμετρο
Αρχίζουμε με έναν Ισχυρισμό.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 02, 2022 4:22 pmΝα βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα των ανισώσεων
έχει άπειρες λύσεις στους φυσικούς αριθμούς .
Ισχυρισμός: Για κάθε φυσικούς με , είναι .
Απόδειξη: Έστω ότι , με . Δουλεύοντας , απορρίπτουμε τις τιμές και . Για τις τιμές και , αυτές απορρίπτονται από την Θεωρία των τύπου Pell εξισώσεων (δείτε π.χ. στον Nagel, σελ. 201-204). Για την τιμή τέλος, αυτή ανάγεται στην , καθώς αν
είναι , άρα αν , είναι οπότε και το είναι άρτιος, άρα αν , προκύπτει τελικά
δηλαδή αναγόμαστε στην περίπτωση
Από τον Ισχυρισμό είναι,
, οπότε προκύπτει ότι
.
Τώρα, από την δεύτερη ανίσωση είναι
άρα προκύπτει ότι
οπότε αν τότε έχουμε ότι δηλαδή το μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμό τιμών. Για κάθε τιμή του όμως, είναι
δηλαδή και το παίρνει πεπερασμένο αριθμό τιμών, άρα συνολικά δεν έχουμε άπειρες λύσεις , άτοπο.
Συνεπώς, πρέπει . Για να δούμε ότι όλα αυτά τα επαληθεύουν, αρκεί προφανώς να επαληθεύσουμε τις ανισώσεις για . Από την Θεωρία των τύπου Pell εξισώσεων η εξίσωση
έχει άπειρες λύσεις, και κάθε τέτοια λύση επαληθεύει τις ανισώσεις
καθώς η μεν αριστερή είναι προφανής αφού ενώ για την δεξιά μετά από ύψωση στο τετράγωνο αρκεί να δείξουμε ότι
που είναι προφανές αφού
Άρα, λύσεις είναι όλα τα .
Σημείωση: Γενικά, για την τύπου Pell εξίσωση , αν αυτή έχει μία λύση (θεμελιώδης λύση) , τότε αν η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης (που πάντα υπάρχει αν το δεν είναι τέλειο τετράγωνο), τότε σύμφωνα με την ταυτότητα Brahmagupta
άρα από την λύση , βρίσκουμε την λύση , οπότε συνεχίζοντας έτσι προκύπτουν άπειρες λύσεις στην εξίσωση .
(Στην δική μας περίπτωση, η εξίσωση με και έχει τη θεμελιώδη λύση , ενώ η εξίσωση έχει θεμελιώδη λύση την ).
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Διπλή ανισωση στους φυσικούς με παράμετρο
Εχει βγει σε χριστουγεννιάτικη παγανιά ο Ορέστης . Για την ιστορία, το πρόβλημα είναι το υπαριθμόν 5287 του περιοδικού "Μαθηματικά Στο Σχολείο", τεύχος 9/10, 2012. Αν και εμφανισιακά, ίσως να μην είναι ελκυστική, θεώρησα ότι αξίζει τον κόπο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης