Δύσκολη Συναρτησιακή

giannis2006 · #1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

ώστε:

για κάθε

Η δυσκολότερη εκδοχή της παραπάνω είναι η εξής:
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

ώστε:

για κάθε

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

giannis2006 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 12, 2023 12:57 pm
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις ώστε: για κάθε

Η δυσκολότερη εκδοχή της παραπάνω είναι η εξής:
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις ώστε: για κάθε

Ξεκινώ με την πρώτη:

P(x,y)

η δοσμένη σχέση,

P(1,x): f(f(x))=x-f(1)+f(1)^2=x+c

όπου θέσαμε $c=f(1)^2-f(1)\geq 0$ .

Από αυτή η

είναι 1-1. Τώρα,

$f(f(x))=x+c\Rightarrow f(f(f(x)))=f(x+c)\Leftrightarrow f(x)+c=f(x+c)$ .

P(x+c,f(y)): f((x+c)(y+c))=(x+c)f(y)-xf(x)-xc-cf(x)-c^2+f(x)^2+c^2+2cf(x)=

.

Με $x\to y, y\to x$ αυτή γίνεται : f((x+c)(y+c))=yf(x)+cf(x)+cf(y)+f(y)^2-yf(y)-yc

.
Επομένως θα έχουμε

xf(y)+cf(y)+cf(x)+f(x)^2-xf(x)-xc = yf(x)+cf(x)+cf(y)+f(y)^2-yf(y)-yc

.

Αυτή για x=1

:

οπότε επιστρέφοντας πάλι στην προηγούμενη παίρνουμε,

f(y)-yf(1)+yf(x)=f(x)-xf(1)+xf(y)

. Αυτή με $y\to y+c$ δίνει

f(y)+c-yf(1)-cf(1)+yf(x)+cf(x)=f(x)-xf(1)+xf(x)+xc

οπότε από την αμέσως προηγούμενη αυτής ισότητα θα πάρουμε τελικά $c-cf(1)+cf(x)=xc \,\,(*)$ .

Περίπτωση 1: c=0

Τότε $f(1)^2-f(1)=0\Rightarrow f(1)=0$ , και f(f(x))=x

,

$P(x,1): f(x)=x-xf(x)+f(x)^2\Leftrightarrow x(1-f(x))=f(x)(1-f(x)$ , για $x\neq 1$ το $f(x)\neq f(1)=1$ άρα f(x)=x

για κάθε

που είναι δεκτή λύση.

Περίπτωση 1: $c\neq 0$

Τότε η (*)

δίνει

.

Είναι $x+f(1)^2-f(1)=f(f(x))=f(x)+f(1)-1=x+2f(1)-2\Rightarrow f(1)(f(1)-1)=2(f(1)-1)$ άρα f(1)=2

αφού $f(1)\neq 1$ και έτσι f(x)=x+1

η οποία επίσης επαληθεύει.

Συνολικά, λύσεις μόνο οι f(x)=x,f(x)=x+1

.

Δύσκολη Συναρτησιακή

Δύσκολη Συναρτησιακή

Re: Δύσκολη Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση