Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

#1

Για δοθείσες σταθερές a,b,c,d

θέτουμε $f(x) = 1 +a\sin x+b\cos x +c\sin 2x+d\cos 2x, \, x\in \mathbb R$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει $f(x) \ge 0$ , να αποδείξετε ότι ισχύει και $f(x) \le 3$ .

(Έχω κατά νου σύντομη στοιχειώδη λύση, χωρίς χρήση παραγώγων.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

#3

Σταύρο, είμαι στο εξωτερικό για λίγες μέρες.

Θα γράψω λύση, αν χρειαστεί, όταν επιστρέψω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2023 12:55 am
Σταύρο, είμαι στο εξωτερικό για λίγες μέρες.

Θα γράψω λύση, αν χρειαστεί, όταν επιστρέψω.

Καλημέρα Μιχάλη.
Εχω λύση.
Δεν την έγραψα μήπως ασχοληθεί κανένας άλλος.
Αν σε δύο μέρες δεν γραφεί λύση θα την γράψω.
Είναι πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα.
Καλή επιστροφή στην πατρίδα.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Καλημέρα.

Από την υπόθεση $f\geq 0$ παίρνουμε

$f(x)\leq f(x)+f(x+2\pi /3)+f(2x+4\pi /3)$

$=(1+1+1)+a\left ( \sin x+\sin(x+\frac{2\pi}{3})+\sin(x+\frac{4\pi}{3}) \right )+b\left ( \cos x+\cos(x+\frac{2\pi}{3})+\cos(x+\frac{4\pi}{3}) \right )$

$+c\left ( \sin 2x+\sin(2x+\frac{2\pi}{3})+\sin(2x+\frac{4\pi}{3}) \right )+d\left ( \cos 2x+\cos(2x+\frac{2\pi}{3})+\cos(2x+\frac{4\pi}{3}) \right ).$

Από γνωστό αποτέλεσμα για τις τρίτες ρίζες της μονάδος όλες οι παρενθέσεις δίνουν

και το αποτέλεσμα έπεται.

Ερώτημα: Υπάρχουν σταθερές a,b,c,d

ώστε η

να πιάνει το

;

Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση