Κλάσματα πολυώνυμων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1816
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κλάσματα πολυώνυμων
Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς , για τους οποίους υπάρχουν πολυώνυμα μιας μεταβλητής και , τέτοια ώστε η ισότητα
να ισχύει για όλες τις τιμές του εκτός από πεπερασμένο αριθμό.
να ισχύει για όλες τις τιμές του εκτός από πεπερασμένο αριθμό.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 37
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
- Επικοινωνία:
Re: Κλάσματα πολυώνυμων
Χωρίς καμία ιδιαίτερη επιβάρυνση η μελέτη του προβλήματος μπορεί να γίνει γενικότερα για πολυώνυμα με συντελεστές από ένα σώμα χαρακτηριστικής ίσης με το μηδέν.
Μπορούμε να θεωρούμε ότι
ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Παρατηρούμε ότι για η ζητούμενη ισότητα είναι αδύνατη.
Για όπου δεν υπάρχουν τα πολυώνυμα
Για όπου τα πολυώνυμα υπάρχουν
ΑΠΟΔΕΙΞΗ του
Εστω όπου
Έστω ότι υπάρχουν πολυώνυμα με ώστε να ισχύει η προτεινόμενη σχέση.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα δεν έχουν κοινό διαιρέτη (ο είναι δακτύλιος μονοσήμαντης ανάλυσης), οπότε μεταξύ άλλων δεν έχουν κοινές ρίζες.
Η προτεινόμενη σχέση γράφεται ισοδύναμα
Επειδή το είναι ανάγωγο άρα και πρώτο στοιχείο στον δακτύλιο (επειδή ο είναι δακτύλιος μονοσήμαντης ανάλυσης οι έννοιες ανάγωγο και πρώτο στοιχείο ταυτίζονται) και διαιρεί το δεύτερο μέλος της θα υπάρχουν δυο εκδοχές που αμφότερες οδηγούν σε άτοπο:
ΕΚΔΟΧΗ #1.
ΕΚΔΟΧΗ #2.
ΕΚΔΟΧΗ #1.
Για ορίζουμε
Θα οδηγηθούμε εις άτοπον δείχνοντας επαγωγικά ότι για κάθε
Επειδή γράφουμε
Ξαναγράφοντας την και διαγράφοντας τον παράγοντα κατά μέλη λαμβάνουμε
Για η τελευταία γίνεται οπότε επειδή θα πρέπει και συνεπώς
Έτσι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο για
Υποθέτουμε ότι το ζητούμενο ισχύει για
οπότε
και με αυτό ξαναγράφουμε την
Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του
Θέτοντας στην τελευταία σχέση έχουμε
και επειδή βρίσκουμε
και συνεπώς
Έτσι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο για
ΕΚΔΟΧΗ #2.
Για ορίζουμε
Θα οδηγηθούμε εις άτοπον δείχνοντας επαγωγικά ότι
για κάθε
Επειδή γράφουμε οπότε για ισχύει
Υποθέτουμε ότι το ζητούμενο ισχύει για οπότε
και η προτεινόμενη σχέση γράφεται
θέτοντας στην τελευταία σχέση έχουμε
και επειδή θα έχουμε
οπότε
Έτσι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο για
ΑΠΟΔΕΙΞΗ του
Επειδή
Για αρκεί να θεωρήσουμε ,
Για αρκεί να θεωρήσουμε ,
Για με θεωρούμε
και παρατηρούμε ότι
Αντικαθιστώντας στην βρίσκούμε
(Σ)
Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα πολυώνυμο που να ικανοποιεί τη (Σ)
Θα πρέπει
Θεωρούμε το μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ
με τιμές που να περιγράφονται από την (https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation)
Παρατηρώντας ότι τα πολυώνυμα και
είναι αμφότερα βαθμού το πολύ
και έχουν την ίδια τιμή στα με με
συμπεραίνουμε ότι θα είναι ίσα.
Κατά συνέπεια το πολυώνυμο θα ικανοποιεί την πολυωνυμική ισότητα (Σ).
Για με και θεωρούμε
και παρατηρούμε ότι
Αντικαθιστώντας στην βρίσκούμε
(Σ2)
Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα πολυώνυμο που να ικανοποιεί τη (Σ2)
Θα πρέπει
Θεωρούμε το μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ
με τιμές που να περιγράφονται από την
Παρατηρώντας ότι τα πολυώνυμα και
είναι αμφότερα βαθμού το πολύ
και έχουν την ίδια τιμή στα με με
συμπεραίνουμε ότι θα είναι ίσα.
Κατά συνέπεια το πολυώνυμο θα ικανοποιεί την πολυωνυμική ισότητα (Σ2).
Σε αυτό το σημείο η άσκηση εχει ολοκληρωθεί
Edit:
Η περίπτωση , με αρνητικό ακέραιο μικρότερο ή ίσο του ήταν λανθασμένη. Προστέθηκε η διορθωμένη εκδοχή της, ενώ η περίπτωση , με θετικό ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του έμεινε ως έχει (με τη διαφορά ότι το απλοποιήθηκε σε )
Μπορούμε να θεωρούμε ότι
ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Παρατηρούμε ότι για η ζητούμενη ισότητα είναι αδύνατη.
Για όπου δεν υπάρχουν τα πολυώνυμα
Για όπου τα πολυώνυμα υπάρχουν
ΑΠΟΔΕΙΞΗ του
Εστω όπου
Έστω ότι υπάρχουν πολυώνυμα με ώστε να ισχύει η προτεινόμενη σχέση.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα δεν έχουν κοινό διαιρέτη (ο είναι δακτύλιος μονοσήμαντης ανάλυσης), οπότε μεταξύ άλλων δεν έχουν κοινές ρίζες.
Η προτεινόμενη σχέση γράφεται ισοδύναμα
Επειδή το είναι ανάγωγο άρα και πρώτο στοιχείο στον δακτύλιο (επειδή ο είναι δακτύλιος μονοσήμαντης ανάλυσης οι έννοιες ανάγωγο και πρώτο στοιχείο ταυτίζονται) και διαιρεί το δεύτερο μέλος της θα υπάρχουν δυο εκδοχές που αμφότερες οδηγούν σε άτοπο:
ΕΚΔΟΧΗ #1.
ΕΚΔΟΧΗ #2.
ΕΚΔΟΧΗ #1.
Για ορίζουμε
Θα οδηγηθούμε εις άτοπον δείχνοντας επαγωγικά ότι για κάθε
Επειδή γράφουμε
Ξαναγράφοντας την και διαγράφοντας τον παράγοντα κατά μέλη λαμβάνουμε
Για η τελευταία γίνεται οπότε επειδή θα πρέπει και συνεπώς
Έτσι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο για
Υποθέτουμε ότι το ζητούμενο ισχύει για
οπότε
και με αυτό ξαναγράφουμε την
Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του
Θέτοντας στην τελευταία σχέση έχουμε
και επειδή βρίσκουμε
και συνεπώς
Έτσι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο για
ΕΚΔΟΧΗ #2.
Για ορίζουμε
Θα οδηγηθούμε εις άτοπον δείχνοντας επαγωγικά ότι
για κάθε
Επειδή γράφουμε οπότε για ισχύει
Υποθέτουμε ότι το ζητούμενο ισχύει για οπότε
και η προτεινόμενη σχέση γράφεται
θέτοντας στην τελευταία σχέση έχουμε
και επειδή θα έχουμε
οπότε
Έτσι έχουμε αποδείξει το ζητούμενο για
ΑΠΟΔΕΙΞΗ του
Επειδή
Για αρκεί να θεωρήσουμε ,
Για αρκεί να θεωρήσουμε ,
Για με θεωρούμε
και παρατηρούμε ότι
Αντικαθιστώντας στην βρίσκούμε
(Σ)
Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα πολυώνυμο που να ικανοποιεί τη (Σ)
Θα πρέπει
Θεωρούμε το μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ
με τιμές που να περιγράφονται από την (https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation)
Παρατηρώντας ότι τα πολυώνυμα και
είναι αμφότερα βαθμού το πολύ
και έχουν την ίδια τιμή στα με με
συμπεραίνουμε ότι θα είναι ίσα.
Κατά συνέπεια το πολυώνυμο θα ικανοποιεί την πολυωνυμική ισότητα (Σ).
Για με και θεωρούμε
και παρατηρούμε ότι
Αντικαθιστώντας στην βρίσκούμε
(Σ2)
Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα πολυώνυμο που να ικανοποιεί τη (Σ2)
Θα πρέπει
Θεωρούμε το μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ
με τιμές που να περιγράφονται από την
Παρατηρώντας ότι τα πολυώνυμα και
είναι αμφότερα βαθμού το πολύ
και έχουν την ίδια τιμή στα με με
συμπεραίνουμε ότι θα είναι ίσα.
Κατά συνέπεια το πολυώνυμο θα ικανοποιεί την πολυωνυμική ισότητα (Σ2).
Σε αυτό το σημείο η άσκηση εχει ολοκληρωθεί
Edit:
Η περίπτωση , με αρνητικό ακέραιο μικρότερο ή ίσο του ήταν λανθασμένη. Προστέθηκε η διορθωμένη εκδοχή της, ενώ η περίπτωση , με θετικό ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του έμεινε ως έχει (με τη διαφορά ότι το απλοποιήθηκε σε )
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1816
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κλάσματα πολυώνυμων
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Ιάσωνα για την λύση και το χρόνο του. Για την ιστορία η άσκηση είναι από την ολυμπιάδα "Υψηλά πρότυπα" για το έτος 2021/22, του πανεπιστημίου Ανώτατη Σχολή Οικονομικών (Ρωσία).
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6424
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Κλάσματα πολυώνυμων
Ενδιαφέρον, δεδομένου ότι το 2006 σε τεστ επιλογής της Βουλγαρίας για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα τέθηκε το εξής θέμα:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 12, 2024 4:30 pmΘα ήθελα να ευχαριστήσω τον Ιάσωνα για την λύση και το χρόνο του. Για την ιστορία η άσκηση είναι από την ολυμπιάδα "Υψηλά πρότυπα" για το έτος 2021/22, του πανεπιστημίου Ανώτατη Σχολή Οικονομικών (Ρωσία).
Να βρεθούν τα πολυώνυμα , για τα οποία ισχύει
για άπειρες τιμές του .
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης