Ευρεση πολυώνυμου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές για τα οποία ισχύει :
P(x)^2+2P(x)=P(x^2)

Dimessi · #2

Το πολυώνυμο $Q(x)=P(x)+1 \in \mathbb{R}[x]$ ικανοποιεί $Q(x^2)=(Q(x))^{2}.$ Τότε $Q(x)=x^{n}$ ή

σταθερό. Είμαι από κινητό. Σε λίγο άμα θέλετε γράφω απόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Dimessi έγραψε: Δευ Οκτ 06, 2025 8:21 pm Το πολυώνυμο $Q(x)=P(x)+1 \in \mathbb{R}[x]$ ικανοποιεί $Q(x^2)=(Q(x))^{2}.$ Τότε $Q(x)=x^{n}$ ή σταθερό. Είμαι από κινητό. Σε λίγο άμα θέλετε γράφω απόδειξη.

Η απορία μου είναι γιατί πρέπει να είναι $Q(x)=P(x)+1 \in \mathbb{R}[x]$ . Αν είναι στο $\mathbb{C}{[x]}$ αλλάζει κάτι ;

Dimessi · #4

Καλησπέρα. Όχι...αλλά σε διαγωνισμούς , ακόμα και σε προχωρημένο επίπεδο Λυκείου δίνεται το $\mathbb{R}\left [ x \right ].$
Πάμε και μια απόδειξη που υποσχέθηκα. Θεωρώ την περίπτωση $\deg P \geqslant 1.$
Γράφουμε $Q\left ( x \right )=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n},n\geq 1,a_{0}\neq 0.$ Τότε $\displaystyle a_{0}=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{Q\left ( x \right )}{x^{n}}.$ Επαγωγικά παρατηρούμε ότι $Q\left ( 2^{2^{k}} \right )=\left ( Q\left ( 2 \right ) \right )^{2^{k}},$ για κάθε ακέραιο $k \geqslant 0.$ Παίρνουμε $\displaystyle a_{0}=\displaystyle \lim_{k \to \infty}\frac{\left ( Q\left ( 2 \right ) \right )^{2^{k}}}{\left ( 2^{2^{k}} \right )^{n}}=\displaystyle \lim_{k \to \infty}\left ( \frac{Q\left ( 2 \right )}{2^{n}} \right )^{2^{k}}\overset{a_{0}\neq 0}\Rightarrow Q\left ( 2 \right )=\pm 2^{n}.$ Άρα $Q\left ( 2^{2^{k}} \right )=\left ( \pm 2^{n} \right )^{2^{k}}=\left ( 2^{2^{k}} \right )^{n},$ για κάθε ακέραιο $k\geqslant 0.$ Επομένως , για κάθε ακέραιο

της μορφής $2^{2^{k}},k\geqslant 0,$ είναι $Q(x)=x^{n},$ άρα το πολυώνυμο $R(x)=Q(x)-x^{n}$ έχει βαθμό

και άπειρες πραγματικές ρίζες οπότε R(x)=0

, άρα και για κάθε $x \in \mathbb{R},$ είναι $Q(x)=x^{n}.$
Στην περίπτωση που $\deg Q=0,$ βρίσκουμε λύσεις Q(x)=0

και

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Dimessi έγραψε: Δευ Οκτ 06, 2025 11:30 pm Καλησπέρα. Όχι...αλλά σε διαγωνισμούς , ακόμα και σε προχωρημένο επίπεδο Λυκείου δίνεται το $\mathbb{R}\left [ x \right ].$
Πάμε και μια απόδειξη που υποσχέθηκα. Θεωρώ την περίπτωση $\deg P \geqslant 1.$
Γράφουμε $Q\left ( x \right )=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n},n\geq 1,a_{0}\neq 0.$ Τότε $\displaystyle a_{0}=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{Q\left ( x \right )}{x^{n}}.$ Επαγωγικά παρατηρούμε ότι $Q\left ( 2^{2^{k}} \right )=\left ( Q\left ( 2 \right ) \right )^{2^{k}},$ για κάθε ακέραιο $k \geqslant 0.$ Παίρνουμε $\displaystyle a_{0}=\displaystyle \lim_{k \to \infty}\frac{\left ( Q\left ( 2 \right ) \right )^{2^{k}}}{\left ( 2^{2^{k}} \right )^{n}}=\displaystyle \lim_{k \to \infty}\left ( \frac{Q\left ( 2 \right )}{2^{n}} \right )^{2^{k}}\overset{a_{0}\neq 0}\Rightarrow Q\left ( 2 \right )=\pm 2^{n}.$ Άρα $Q\left ( 2^{2^{k}} \right )=\left ( \pm 2^{n} \right )^{2^{k}}=\left ( 2^{2^{k}} \right )^{n},$ για κάθε ακέραιο $k\geqslant 0.$ Επομένως , για κάθε ακέραιο της μορφής $2^{2^{k}},k\geqslant 0,$ είναι $Q(x)=x^{n},$ άρα το πολυώνυμο $R(x)=Q(x)-x^{n}$ έχει βαθμό και άπειρες πραγματικές ρίζες οπότε , άρα και για κάθε $x \in \mathbb{R},$ είναι $Q(x)=x^{n}.$
Στην περίπτωση που $\deg Q=0,$ βρίσκουμε λύσεις και

Υπάρχει απλή απόδειξη χρησιμοποιώντας μιγαδικούς.
Θα το αφήσω κάποιες μέρες και μετά θα την γράψω.

Dimessi · #6

Πάμε και με μιγαδικούς.
Στην περίπτωση που $\deg Q\geqslant 1,$ έχουμε ότι αν

είναι ριζα του

τότε και $r^{2},r^{1/2}$ ρίζες του

Οπότε το

έχει μοναδική ρίζα το

άρα $Q(x)=x^{n}.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Dimessi έγραψε: Τρί Οκτ 07, 2025 7:55 am Πάμε και με μιγαδικούς.
Στην περίπτωση που $\deg Q\geqslant 1,$ έχουμε ότι αν είναι ριζα του τότε και $r^{2},r^{1/2}$ ρίζες του Οπότε το έχει μοναδική ρίζα το άρα $Q(x)=x^{n}.$

Ακριβώς.
Το σημαντικό είναι ότι έχει ρίζα το $r^{1/2}$ .Γιατί λόγω αυτού αν $r\neq 0$ προκύπτει ότι έχει άπειρες ρίζες.(ανεξάρτητα τι μέτρο έχει ο

)
Τα ίδια συμβαίνουν και για πολυώνυμα που ικανοποιούν την (p(x))^k=p(x^k)

για $k\geqslant 2$ φυσικό.

Ευρεση πολυώνυμου

Ευρεση πολυώνυμου

Re: Ευρεση πολυώνυμου

Re: Ευρεση πολυώνυμου

Re: Ευρεση πολυώνυμου

Re: Ευρεση πολυώνυμου

Re: Ευρεση πολυώνυμου

Re: Ευρεση πολυώνυμου

Μέλη σε σύνδεση