Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.
Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων του , στις πλευρές , αντιστοίχως. , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου στις ευθείες αντιστοίχως, , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου , στις ευθείες αντιστοίχως και , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου , στις ευθείες , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι δια των σημείων κάθετες ευθείες επί των αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο .
Κώστας Βήττας.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.
Με τις παρακάτω παραπομπές, νομίζω ότι έχουμε απλή λύση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62382
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62363
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62382
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62363
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.
Εναλλακτικά,το ζητούμενο έπεται από τα εξής:
1)Αν δύο τρίγωνα είναι ορθολογικά και φέρουμε ομοιόθετο του δεύτερου,τότε εκείνο είναι ορθολογικό του πρώτου
2)Τα είναι ορθολογικά.
Το πρώτο είναι προφανές,ενώ για το δεύτερο αρκεί να θεωρήσουμε τρίγωνο με στον περίκυκλο του ώστε να είναι μέσα των μεγάλων τόξων (ομοιόθετοτου ).
.Τότε τα και τα κυκλικά τους είναι εγγράψιμα(η τομή των πχ. είναι το αντιδιαμετρικό του στον αναγραφόμενο κύκλο κλπ) και με απλό κυνήγι γωνιών το πχ. είναι στη μεσοκάθετο του, και το ζητούμενο έπεται.Για την αρχική,το είναι ομοιόθετο του τριγώνου που ορίζεται από τις μπλε γραμμές στο σχήμα του κ.Βήττα,οπότε εφαρμόζοντας τα 2 πάνω "λήμματα" το ζητούμενο έπεται..(Θα επιστρέψω ίσως αργότερα με λεπτομέρειες και σχήμα).
1)Αν δύο τρίγωνα είναι ορθολογικά και φέρουμε ομοιόθετο του δεύτερου,τότε εκείνο είναι ορθολογικό του πρώτου
2)Τα είναι ορθολογικά.
Το πρώτο είναι προφανές,ενώ για το δεύτερο αρκεί να θεωρήσουμε τρίγωνο με στον περίκυκλο του ώστε να είναι μέσα των μεγάλων τόξων (ομοιόθετοτου ).
.Τότε τα και τα κυκλικά τους είναι εγγράψιμα(η τομή των πχ. είναι το αντιδιαμετρικό του στον αναγραφόμενο κύκλο κλπ) και με απλό κυνήγι γωνιών το πχ. είναι στη μεσοκάθετο του, και το ζητούμενο έπεται.Για την αρχική,το είναι ομοιόθετο του τριγώνου που ορίζεται από τις μπλε γραμμές στο σχήμα του κ.Βήττα,οπότε εφαρμόζοντας τα 2 πάνω "λήμματα" το ζητούμενο έπεται..(Θα επιστρέψω ίσως αργότερα με λεπτομέρειες και σχήμα).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης