Γεωμετρικός τόπος ίσων γινομένων αποστάσεων.

[vittasko]

Με αφορμή την πρόταση Εδώ.

Επί δοσμένης ευθείας δίνεται η σημειοσειρά και ας είναι . Να ευρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Αυτό το πρόβλημα έρχεται από το παρελθόν. Το είχα προσεγγίσει με στοιχειώδη μέσα, αλλά λόγω περιορισμένων γνώσεων, κατάφερα μόνο τον γραφικό προσδιορισμό του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου ( κατασκευάζοντας γεωμετρικά, διαδοχικά σημεία που επαληθεύουν την ισότητα ). Το πρόβλημα έγινε ακόμα δυσκολότερο ( για μένα ), στην περίπτωση όταν τα δοσμένα σημεία δεν είναι συνευθειακά ( βρήκα μόνο λίγα χαρακτηριστικά σημεία, όπως το περίκεντρο ενός τριγώνου για παράδειγμα, τα οποία όμως δεν μορφοποιούσαν έναν γεωμετρικό τόπο ).

[rek2]

Με δεδομένα τα σημεία προκύπτει εξίσωση τρίτου βαθμού, οπότε....

[S.E.Louridas]

Προσωπικά θα επιχειρούσα (στη περίπτωση των συνευθειακών) να την δώ με το Θεώρημα Stewart, ..., αλλά ίσως και όμορφη...άλγεβρα.