Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.

#1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Έστω $L,\ M,\ N,$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle AHK,\ \vartriangle BHK,\ \vartriangle CHK$ αντιστοίχως, όπου είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC.$ Αποδείξτε ότι όπου $D\equiv LN\cap BM$ και $E\equiv AC\cap BM$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Προέκυψε ως Λήμμα, στην προσπάθεια για λύση άλλου προβλήματος.

: Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.; f=185_t=58778.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 1487 φορές

#2

vittasko έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Έστω $L,\ M,\ N,$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle AHK,\ \vartriangle BHK,\ \vartriangle CHK$ αντιστοίχως, όπου είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC.$ Αποδείξτε ότι όπου $D\equiv LN\cap BM$ και $E\equiv AC\cap BM$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Προέκυψε ως Λήμμα, στην προσπάθεια για λύση άλλου προβλήματος.

Για να μην μείνει ορφανό το πρόβλημα (έχει βέβαια λυθεί έμμεσα από τον εισηγητή του εδώ , αφού τον προκαλέσαμε δημιουργώντας και μια νέα πρόταση η οποία επίσης αποδεικνύει το πρόβλημα που έχει τεθεί) ας το δούμε στην γενικότερη μορφή του.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τυχόν σημείο του επιπέδου του. Αν είναι τα σημεία τομής των εκ του παραλλήλων στις με τις εκ των παράλληλες προς τυχούσα διεύθυνση $\left( \delta \right)$ του επιπέδου του τριγώνου αντίστοιχα να δειχθεί ότι όπου $D\equiv MB\cap LN,E\equiv MB\cap CA$ .

: Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.png (42.38 KiB) Προβλήθηκε 1402 φορές

Σύμφωνα με το λήμμα που αναφέρεται στην πιο πάνω παραπομπή θα είναι $BD=KT:\left( 1 \right)$ όπου το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την $\left( \delta \right)$ με την και από το παραλληλόγραμμο (από κατασκευής) θα είναι $KT = ME\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{BD = ME}$ και το γενικότερο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Υ.Σ. Τα ορθόκεντρα φαίνονται (όπως τώρα έχει τεθεί το παραπάνω πρόβλημα) «παραπλανητικά» αλλά προφανώς καθορίζουν τις παραλληλίες και το σημείο δεν υποχρεούται να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου.

Με εκτίμηση
Στάθης

Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.

Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.

Re: Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.

Μέλη σε σύνδεση