Μέσο χορδής

#1

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ , AB>AC

,

είναι το περίκεντρο, και

το μέσο της πλευράς

. Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει τις πλευρές

και

στα σημεία

και

, αντίστοιχα. Έστω

το σημείο τομής της

με την ευθεία που διέρχεται από το

και είναι παράλληλη στην

. Να δειχθεί ότι EM=MF

.

S.E.Louridas · #2

achilleas έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 09, 2023 9:36 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ , , είναι το περίκεντρο, και το μέσο της πλευράς . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει τις πλευρές και στα σημεία και , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής της με την ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στην . Να δειχθεί ότι .

Καλημέρα καλημέρα.

Έστω

το μέσο του

, όταν

το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Το τρίγωνο DFE

είναι όμοιο με το τρίγωνο BA΄A

, αν

.

Αν τώρα

είναι το μέσο του

, τότε $DT\mathop = \limits^\parallel OA$ .

Άρα προκύπτει $\angle FDQ = \angle ZOA = \angle B = \angle DBA\,\;\left( {Q = DT \cap EF} \right) \Rightarrow Q \equiv M$

και βέβαια λόγω της προαναφερθείσας ομοιότητας.

: geogebra-export.png (291.41 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

edit: Τοποθέτηση του σχήματος

Henri van Aubel · #3

Καλημέρα!

Αλλιώς.

Έχουμε $\angle ADM^{DM||AO}=\angle DAO=90^\circ-\angle B-\angle DAC$ και $\angle ADF=90^\circ-\angle DAC,$ οπότε $\angle MDF=\left ( 90^\circ-\angle DAC \right )-\left ( 90^\circ-\angle DAC-\angle B \right )=\angle B$ και από το εγγράψιμο τετράπλευρο AEDF

έχουμε $\angle EDF=180^\circ-\angle A,$ οπότε $\angle EDM=180^\circ-\angle A-\angle B=\angle C.$ Τώρα, είναι απλό ότι:

$\displaystyle \frac{ED}{DF}=\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}=\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{\sin \angle MDF}{\sin \angle EDM}\left ( \ast \right )$

Η σχέση $\left ( \ast \right )$ μας δίνει ότι EM=MF.

Μέσο χορδής

Μέσο χορδής

Re: Μέσο χορδής

Re: Μέσο χορδής

Μέλη σε σύνδεση